|
2-боб
е-ТА^РИБИЙ ЕЧИМ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВА ИНТЕГРАЛ ТЕНГСИЗ-
ЛИКЛАР
1-§. е-ТАКРИБИЙ ЕЧИМ. ЭЙЛЕР СИНИЦ ЧИЗ№И
(1.1) дифференциал тенглама берилган булиб, унда f(x,y) функция Г со^ада узлуксиз булсин.
1-таъриф. Агар бирор I (очщ, спиц, ярим очщ) интервалда аницланган, ф (х) функция учун ушбу
1°. (х,ф(х))£Г, х£/;
2°. ф(а:)£С(Л, ф(а')6С1(/\5) (бунда S тупла'м функция
dx
1
—f(x, ф(х)) I <е, x£/\S.
-тур узилишга эга булган ёки тавжуд бултаган нуцталар туп- лаши;
3°.
dx
4°. S — чекли ту плат, туртта шарт уринли булса, у хрлда ф(х) функция I интервалда
дифференциал тенгламанинг е-тацрибий ечи’ми дейилади.
Таърифдан куринадики, е = 0 ва S = 0 булганда = /(х, ф(х)),
dx
х 6 / булади. Бу ^олда 1.4-таърифда берилган ечим таърифини ^о- сил циламиз.
К*уйида биз е-тацрибий ечимнинг мавжудлиги масаласига тух та- ламиз.
теорем а. Агар f(x,y) функция Г сохада ётган Р = г= {(а:,у): J х — хп1 < а, \ у — у01 < Ь) ёпиц тугри туртбурчакда узлуксиз булса, у хрлда ихтиёрий мусбат е учун (1.1) дифференциал
тенгламанинг I х—x0] ft = min(а, — V М = шах \Нх,у)\ ин-
\ М ! (Х, tj)(Lp
тервалда 0) = у0 бошлантч шартни цаноатлантирадиган г- тац-
рибий ечиши ф (х) мсивжуд.
Исбот. е>0 берилган булсин. х(1 < х < х0 + ft интервалда
е-та^рибий ечимни цурамиз (х0 — ft < х < х0 интервалда тегишли
ечим шунга ухшаш цурилади). Ушбу
Рh - {(Х,у): | х—х01 < ft, I у — г/о | < b), Р+ = {(х,у): х0 < х < х0 +ft,
| у — г/о | < 6} тугри туртбурчакларни цурамиз. Равшанки Phcz Р, Р+аР. f (х,у) функция ёпиц Р тупламда | узлуксиз булгани учун шу тупламда текис узлуксиз булади. Демак, [берилган е>0 буйича шундай 6(e) > 0 топиладики, агар (х,у)£Р, (х, у)£Р нуктглар учу
н\х— *|<6(е), \у — г/|<б(е) тенгсизликлар уринли булса,
\f(x,y) — f(x,y)\^e (2.1)
тенгсизлик ^ам уринли булади. Бу муло^азадан кеГшнрок фойдала- намиз.
Энди хи х.,, . . . , хп_, ну^талар ёрдамида [x0, х0+/г] интервални шундай п та булакка буламизки, ^ар бир [xk_v xk\ интервалнинг узунлиги ушбу
тэх\хк — xk_v\<шт^6(е),^, * = 1,2, ... , и; xn = x0 + h
тенгсизликни цаноатлантиради.
(х0, у0) ну^тадан бурчак коэффициента М ва — М га тенг булган икки тугри чизик утказиш мумкин. Бу тугри чизицлар учун
М = tga = — булсин. Агар h = а булса, М = h = ~ бул
ганда М — булади. Демак М > Бундан келиб чица"
д ики, Pt тугри туртбурчакда (х0, у0) нуцтадан утувчи М ва —М бурчак коэффициентли тугри чи- зиклар у = у0 — b ва у = у0 + Ь горизонтал тугри чизиклари билан абсциссаси х < х0 + а, х = х0 + h булган нукталарда кесишишади. У нукталарни В ва С, (х0, у0) ну^- тани эса А дейлик (15- чизма). Досил булган ABC учбурчакни P/t\ Ph1 cz Pt деб белгилаймиз.
(х0, Уо) нуктадан утувчи f(x0, у0) бурчак коэффициентли тугри чи- зикнинг [л'„, хг\ интервалга мос кесмасини чизамиз. Тугри чизиц- нинг чизилган бу булаги Рн1 учбурчакда ётиши равшан. Унинг тенгламаси у — у0 = fCx<>’ Уо) (х — *о) куринишда, х = хх тугри чизи^ билан кесишиш ну^тасининг координаталари эса
(*1. У1) = (xi> Уо + f (*о. Уо) (Х1 — х0)) булади. Сунгра (хг, у,) нуктадан утувчи f(xlt yj бурчак коэффициентли тугри чизи^нинг [х,, x.J интервалга мос кесмасини чизамиз. Унинг тенгламаси у— Уг = Кх1, yt) (х — х,) куринишда, х = х2 тугри чизиц билан кесишиш ну^таси координаталари эса
(х2, У*) = (х2, Уу + f (хи у{) (х, — хх))
каби булади.
Шу усулда давом этсак, х0 < х < х0 + h интервалда аникланган, графиги Pt1 учбурчакдан чи^майдиган синик чизиц чизиш мумкин.Унинг учларини Ап = А, А1 = (х1, уп), , Ап_1 = (хпг_1, уп_х), Ап — (хп, уп) = (хп + h, уп) деб белгилаймиз. Досил булган A0AXA2 . . . An_j Ап сини^ чизшуш фп(х) дейлик. Бу функция изланган, ку- рилиши лозим булган е- та^рибий ечимдир. Шуни исбот этамиз.
'таърифнинг шартларини текширамиз.
1° шарт бажарилади, чунки (х,<рп(х)) б^1 cr Р+ а Р. Агар {xlt х,, ..., xn_,} тупламни S десак, 2 шарт [х0, x0+h]\S т5'пламда бажарилади.
Энди 3° шартни текшириш ^олди. [xkl,xk] интервални курамиз, k=\, 2, ... п. Агар ^ар бир [xk_v xk\ интервалда 3° шарт бажа- рилса, у ^олда [хв, х0 + h] интервалда у = ф„(х) функция учун 3° шарт бажарилади. Равшанки, [xk_v xk] интервалда
Do'stlaringiz bilan baham: |
