Е-та рибий ечим. Дифференциал ва интеграл тенгсиз

^df_x = f„(x, y), y(x_n) = y_n, n = 1, 2, . . . (2.18„)
Коши масаласининг ечими ва п-+-со да
^х_п^хо> У_п-*-Уо (2-19)
булсин. У %олда [х₀, х₀ + а] интервалда текис яцинлсшувчи у_п (х), у_п (х) , . . . цисмий кетма-кетлик мазжуд. Исталган шундай цис- мий кетма-кетлик учун
у₀(х)= lim у(х) (2.20)
лимит функция [х₀, х₀ + а] интервалда
J_x=fo (^х> У)’ У (^хо) = У о (2.1 во)
Коши масаласининг ечи'ми булади. Хусусан, агар [х₀, х₀ + а] ин­тервалда (2.18₀) масала ягона у₀(х) ечимга эга брлса, у %олда
У о (^х) — lira. г/_п(х)([х₀, х₀ + а] да текис) (2.21)
П-роо
булади.
Исбот. fx(x, у), f.,(x, у), ... функциялар Р* тугри туртбур-
чакда узлуксиз булиб, унда (2.18) даги яцинлашиш текис булгани
учун шундай мусбат узгармас К мавжудки, п = 0, 1, 2, . . . ва
(*, у) £Р* учун \у'_п(х)\ = \f_n(x, у(х))\<К тенгсизликлар бажари-
лади. Бундан К Липшиц узгармаси экани келиб чикади. Демак,
{f_n (х, у)} кетма-кетлик текис даражали узлуксиз булади. Бу кетма-
кетлик _й текис чегараланган ^ам, чунки | у_п(х) — г/₀1 < Шунинг
учун текис якинлашувчи кисмий кетма-кетликнинг мавжудлиги 2.2-
теоремадан келиб чикади. Энди (2.18) муносабатдан, (2.20) даги
яцинлашишнинг текислигидан ^амда 2.3-теоремадан &-»-оо да [х₀,
х_а + а] интервалда f (х, у (x))->-f₀(x, у(х)) текис яцинлашиш ⁿk ⁿk
X
келиб чикади. Демак, у_п(х) = у_п + j f_n(l, y_n(Q)dl тенгликда (п —
^хп

• 
  ti_k ва k-*-oo да) интеграл остида лимитта утиш мумкин. Бун­дан (2.18) муносабат билан ани^ланадиган у₀ (х) функция (2.18₀) масаланинг ечими экани келиб чикади.
  

1. 
   Теореманинг охирги тасдигининг тугрилигига илонч з^осил цилиш учун (2.18₀) масаланинг у₀(х) ечими ягона деб фараз этилиши текис якинлашувчи У\(х), у_г(х), . . . , у_п{х), . . . кетма-кетликнинг ^ар бир цисмий кетма-кетлигининг лимити шу у₀(х) функциядан иборат эканини англатади. Бундан 2.2-теэрэмага к^ра (2.21) нинг тугри- лиги келиб чикади.лемма. f(x, у) функция Р* = {(х, у):х₀ <: х <: х₀ + а, | у — у_и | < Ь) тугри туртбурчакда анщланган ва узлуксиз, I f(x, I Ь\ ......
   

у) | < М а — min a,~^j булсин. У %олда Коши масаласи х₀ < х <

• 
  х₀ + а интервалда шундай у = у⁰ (х) ечимга эга буладики, ушбу
  

;г = f(*> У)> У(^х») <У о
ах
масаланинг ихтиёрий у = у (х) ечими учун х₀ < х < х₀ -f- а интер­валда у{х)^у°(х) тенгсизлик уринли булади.
Исбот. 0<сс'<а булсин. Ушбу
j- — f (^х> У)+—, У{^хо) = Уо (2-22)
ах п
Коши масаласини курамиз. Бу масала п етарли катта булганда х₀ SS х < х₀ + а' интервалда у = у_п (х) ечимга эга. 2.7- теоремага ку­ра шундай ^исмий кетма-кетлик п_и п₂, ... , n_k, ... , п₁ < п., <

• 
  ... < n_k < ... мавжудки, лимит функция (якинлашиш текис)
  

У° (х) = I™ у (х)
k~+oo ^к
ушбу ^ = f(x, у), у(х₀) = у₀ масаланинг х₀ < х < х₀ + а' интер­валда ани1утгашан ечими булади. Энди етарли катта п учун
у(х) < У_п (х), х₀ < х < х₀ +’а (2.23)
тенгсизликни исбот этамиз. х = х,, х₀ < х, с х₀ + а ну^тада y{x₁)>y_n{x_i) булсин. У зфлда узлуксизлик туфайли х₀ < х <;x_L интервалда шундай х.,, х₀ < x_L < х_г ну^та тогшладики, х₂ <Г х < х_х интервалда у (а)> у_п(х), у(х_£) = у_п(х_г) булади. Бу бир томондан. Иккинчи томондан, х₀ < х < х₀ + а' да (2.22) тенгламанинг ечими у_п(х), демак,
y_n(x)^f(x, У_п(х)) + \ у_п(х₀) = у₀.
х = х₂ булганда у’_п (х₂) = f (х₂, у_п (х₂)) + -^- у (х₂) = у_п (х.₂) ни ^исоб-
га олсак, у’_п(х₂) = f(х_г, у(х₂))+-^ = у (х.) +
Энди х._г нуктанинг етарли кичик унг атрофидаги ну^таларида у_п{х) учун Тейлор формуласини ёзамиз (х₂<х<х₁):
Уп (^х) = Уп (*ъ) + Уп (^X J (^Х ~ ^хг) + о (1 X — х₂1) =
= Уп W + у' (^хг)(х— х₂) + — (х— X.,) + Ох(\ X— х₂().
п
Равшанки, х₂ <; х < х_г интервалда
У (х) = У (х₂) + у' (х₂) (х — х₂) + о_г (\ х — х_й |).
Бундан фойдалансак:
У_п (х) = У_п (л'₂) +y(x) — y(x.J — o„(\x — >:,) | +