Е-та рибий ечим. Дифференциал ва интеграл тенгсиз

at
%- = f(t,y), {/(to) ~ У O’ to^t^T
at
Коши масалаларининг ечими булсин, бунда f(t,x) в С(Г).
Бу ^олда ушбу
t
x(0 = x_o+ f f(s,x(s))ds,
to
t
У У) = Уf> +I f(s,y(s))ds
to
интеграл айниятлар уринли. Бундан куйидагига эга буламиз:
I
|а(/) — y(t) I < \х₀ — у о I + I J| f (S, X (s)) — f (s, y(s)) I ds |.
(C, Lip) деб t₀ < T интервалда узлуксиз ва иккинчи аргументи ^буйича Липшиц шартини цаноатлантирадиган икки аргументли функ­циялар тупламини белгилайлик. Агар f(t, х) £ (С, Lip), яъни k > О ва (t, х,) 6 Г, (t, х.₂) е Г yqyHj
I f V, *i) — f{t,x₂) | < k | x_x — x., |
тенгсизлик уринли булса, у ^олда юкррмдаги тенгсизликни
t
\x(t) — y{t)\ <|дг₀ — у₀\ +| jfc|x(s) — */(s)|cfs|
to
куринишда ёзиш мумкин. Агар [| х₀ — у₀1 == z(t₀) = С, | a(s) —'t/(s) | = = z(s),
I x(t) — y{t) | = z(t) десак, t>t₀ булгани учун
t
z(t) С С + ^kz(s)ds
to
тенгсизликка Гронуолл тенгсизлигини татбиц этиб, ушбу
t
С kdT
z(t) < Се* = Ce^kv~^U)
муносабатни ^осил ^иламиз. Бундан x(t₀) = y(t₀) =? х₀, \х₀ — у₀1 = = z(t₀) = С = 0 ва охирги тенгсизликдан z(t) = 0, ^гяъни x{t) = y(t) айният келиб чикади.Агар t₀^t^T интервалда Тузлуксиз '/.(/) > 0 функция мавжуд булсаки, (tyXj) 6 Г, (t, х„) 6 Г нукталар учун ушбу
|f(t, x₁) — f(t,x₂)\₁~x_i\
тенгсизлик уринли булса, аввалгидек муло^азалар ёрдамида
t
I x(t) — y(t) I < 1 ^xo — Уо I + f * (t) I x(s) — y(s) I ds
to
тенгсизликка келамиз. Бундан Гронуолл тенгсизлигини татби^ этиб
t
j 'k{x)dx
\x(t)-y(t)\
муносабатни хосил 1\иламиз. Агар С — \х₀ — г/₀|=0 булса, бундан х (0 = y(t), t₀ < Т айният келиб чикади.
Мазкур параграф охирида ягоналик ^акида яна бир му^им тео- ремани келтирамиз.
Ягоналик теоремаси. Агар f(x,y) £ С, {х,у) £ Г булиб,[(х₀,г/₀)£Г нуцтанинг бирор атрофида ушбу
lfl(x, yi) — f(x> У₂)|(* — *о)<МУ2 — ‘Jil 0 (2.16)
тенгсизлик уринли булса, у %олда (1.1) тенглама у(х₀) = у_и шартни каноатлантирадиган купи билан битта ечимга эга.
Бу теоремами 1909 йилда 0 < k < 1 учун Розенблат, 1926 йилда k = 1 учун Нагумо (юцоридаги тенгсизлик цатъий булганда) исботлагап, м ни.цоят, 1928 йилда Перрон теоремани \х — х₍\ < а учун

1. 
   /1 (х, У₂) — f (х, ijy) | (х — х₀) | у₂ — и₁ | (2.16)
   

тенгсизлик бажарилганда исботлагаи.
Исбот. Дифференциал тенгламанинг у = ф (х), у — ij) (х) ечим­лари \х — х₀\ < а интервалда аникланган ва бир хил бэшлангич кий- матларга эга булсин, яъни ф (х₀) = ij) (-х₀) = у₀.
F(x) = ?-М=*И, _хФч
X Xq
деб белгилайлик. Равшанки, Лопиталь цоидасини iy/лланиб, ^уйида- гини топамиз:
[limF(х) = lim yJ?)-~y.JtL = f(_Xot y₀) — f(x₀, у_о) = 0.
Х~+Хф х-*х₀ *
Шунинг учун (агар F (х₀) = 0 деб х.исобласак) F (х) функция | х —

• 
  х₀1 < а интервалда узлуксиз ва х = х₀ да нолга тенг булади. Шу F(x) функция \х—х₀|<ос да айнан нолга тенг эканини ис- ботлаймиз. Фараз этайлик, F(x)=fc0, |х — х₀|<а булсин. У ^олда | л: — х₀1 < а да шундай х* нукта топиладики, унда | F (х) | функ­ция узининг максимумига эришади, уни Q дейлик. Равшанки,
  

<1Q =7^ 0. Содда ^исоблашлар курсатадики, (2.16) га кура
ф (*») — ij) (х*)

0 =

[f(x, Ф (x)) — f(x, ^(x))]cfx)

X% — Xn

1

Ф (x) — -ф (x)