Е-та рибий ечим. Дифференциал ва интеграл тенгсиз

\х— **_,| _fe — min (6(e), iM.^<6(_e).
^xk—i ^ x <1 x_k интервалдан _ьбирор x ни с-лайлик. Шу интервал учун фГ (х) > Фп^А,) (^x_ft_i) + f (x_k__v y^iXx — x^), фп^к) (x) = cp,⁽/^£) (x_i__l)+ f(x_k__,, y_k_j) (I— x_{k l}). (2.2)
Бундан

1. 
   Фп^А) (x) —
   ^l„^k) (x) | = | f(x_A_,, y_k_^ |. | x — x I < M Jx — x\.
   

Агар x = x_k__l булса,
\*Рп^к) (x) — (**_,) | ^ M j x — x_A_, | < M min (б (e), =
= min (/W8(e),6(e)) < 6(e).
Демак,
I «Г (*)-€> owkw
Маълумки, x_A_j < x < x_A интервалда
ЯГ<Р?\Х) = ft'Vl- ФД**-!»’
dx
ифодани ба^олаймиз. х_А—1 < х < х_А ин-
^Энди I ^^x,cp«*⁾ м)
тервалда (2.1) га кура
Z^
— Дх, Ф^’(х)) | = j f(x_k__it
⁽_n^k) (x_k__t)) — f(x, qi^k\x)) | <£
келиб чикади. k га 1, 2, . . . , ti цийматлар берсак х_;ам шу тенгснз- лик уринли булади. Демак, (х₀, х₀ + h)jS тупламда 3° шарт бажа­рилади. 4° шарт уз-узидан бажарилган.
Ю^орида цурилган А₀ А_х . . . А_п синик чизик, ср_п (х) — е- ечим булиб, уни Эйлер синиц чизиги дейилади.
Синик чизи^нинг А₀ А_ъ А_гА_г , ... , А_п_₁ А_п булакларини ф'.'Ч*). <Р%Кх), ....
П
деб белгиласак, у_п(х) = у ф№(*) булади. ^ар бир ц>^(х) ни топиш
учун (2.2) формула цу лла1 шлади.Гф_п(х) ечимни кулайлик учун е - та^- рибий ечим деб атаймиз.
Биз _8п- такрибий ечимни Р+ турри туртбурчакда Бурдик. Тегиш- ли ечим Р_п = {(х,у):х₀— /г < х < х₀, | у— у_й\ К Ь} тупламда ^ам ^урилиши мумкин. Шундай цилиб, P_h тупламда Ф„(л:₀) = у₀ шартни каноатлантирадиган е_п- такрибий ечимни ^урилди деса булади. Шу билан теорема исбот булди. dy
Маш^. — = cos х dx
5я 1
дифференциал тенглама берилган булиб, Р = {{х, у): \ х\ < л, | у | — |, х₀ = О,
^ , - / Ъ \ / 5я \ 5я
у₀=О булсин. я = min I а, —— = min я, — I = —- булгани учун P_h = {(х,у):
\ М I \ 6 / 6

6

Зя
чизири ф_в (х) ^урилсин ва х= мукдада хатолик з^исоблансин.
2. 2- т а ъ р и ф. Агар \ х — х_п1 < h интервалда ашщланган функ- цияларнинг
fi(x), ft(x) f_n(x), ■ . . (2.3)
функционал кетма-кетлиги учун шундай b узгармас сон топилсаки, барча натурал п сонлари^ва | х — jc₀ | < /г интервал учун
\Ш\<ь
тенгсизлик уринли булса, у \олда (2.3) кетма-кетлик. спиц. \х—х₀| интервалда текис чегараланган дейилади.

3. 
   таъриф. Агар ёпщ \х — х_с | < h интервалда анщланган функциялардан тузилган (2.3) кетма-кетлик берилган булиб, щр цандай г > О учун шундай б > О топилсаки, барча п лар учун I х — х" | < б тенгсизлик бажарилганда ушбу
   

№')-/„(Л1<е
тенгсизлик уринли булса, у урлда (2.3) кетма-кетлик текис дара- жали узлуксиз дейилади.
теорема (Асколи—Арцел теоремаси). Агар (2.3) кетма-кетлик чекли \х — х₀1 < h интервалда текис чегараланган ва текис даражаш узлуксиз булса, у холда (2.3) кетма-кетликдан {jtua интервалда текис яцинлашувчи цисмий кетша-кетлик ажратиш туткин.

2. 
   теорема. Агар ёпщ \х — х₀1 < h интервалдаузлуксиз бул­ган функцияларнинг (2.3) кетта-кетлиги шу интервалда текис ящнлашувчи булса, у хрлда бу кетша-кетлик текис чегараланган ва текис даражали узлуксиз булади.
   

Бу теорем аларнинг исботи математик анализ дарсликларида бор булганидан унга тухталмаймиз. Аммо бу теоремалардан келажакда фойдаланамиз.

3. 
   теореманинг исботи. Шундай {е_п}, г_п > 0 сонлар кетма-кет- лигини оламизки, п ->■ оо да е_п-»- 0 булади. 1.18- теоремага кура (1.1) дифференциал тенгламанинг ( х—х₀ | < h интервалда аникланган Ф_п(;с) = у₀ бошлапгич шартни ^аноатлантирадиган ва графиги P_h туп-
   

ламдан чи^майдиган е_п-такрибий ечим бор ва бирор х, х₀ — h < х < < *₀ + h учун


(2.4)


Шу-


I % (*) ~ Ф_п(^А'о) 1 < М 1 х—х₀1 < М~ = Ь.



Ушбу
|ф„(*)—уЛ>М^х)\~ Ы
тенгсизликдан
келиб чицади. Бу (ф_п(х)} кетма-кетликнинг текис чегараланганлиги- ни тасдиклайди. Юцоридаги муло^азалардан |{ф_п(а)} кетма-кетликка

2. 
   теоремани цулланиш мумкин.
   

(ф_п/,(х)} кетма-кетлик {ф_п (а:)} кетма-кетликдан ажратилган ва
бирор узлуксиз ф (х) 'функцияга текис я^инлашувчи булсин. К,улай- лик учун {ф„ (л;)} цисмий кетма-кетлик учун ^ам {ф,_г(х)} белгини ишла-
таверамиз.

4. 
   д
   X
   
   
   
   d(D (х)
   бу ерда | А_п(х) | = f (х,_% (х)) < е_я, *е{|*-*₀|< h}\S,
   ан /г->оо да | ф(лт) — ф(х) | < М | х — х |. е„- та^рибий ечим учун тегишли интеграл тенгламани ёзамиз:
   

(2.5)
А„(*) = Of x£S. Энди {ф (*)} цисмий кетма-кетликни олайлик:ft^oo л
Ф
ни
„.(х)—*ф(х). (2.5) га асосан ф^(х)=г/₀ + J (/(£, %_f(t) + A„_fc(^M
^к Xt
ва k ->- оо да t„—> оо эканини ^исобга олсак: