Е-та рибий ечим. Дифференциал ва интеграл тенгсиз

= «/o+J f(l,4(l))dt.
х₀
Бундан ф(х₀) = у₀. f(x,y) функция Р да узлуксиз булганидан ₌
dx
= f(x,cp(x)). Демак, (р(х) функция ф (х₀) = у₀ шартни ^аноатланти- ради ва I х — x₀j интервалда (1.1) дифференциал тенгламанинг ечими. Теорема исбот булди.

4. 
   теорема. (1.1) дифференциал тенглатада f(х,у) функция Р(Р cz Г) тугри туртбурчакда у буйича L константа билан Лип­шиц шартини цаноатлантирсин. Агар фДх), ф₂(х) фунщиялар I интервалда (1.1) тенгламанинг ^гмос равишда Ej- ва е₂ - тацрибий ечимлари булиб, I интервалдан олинган бирор т учун ва Цациций сон учун
   

!
(2.6)
ф1(т)—ф.,(т)]

тенгсизлик уринли булса, у \олда I интервалнинг барча нуцтала- рида ушбу

ф
L | х—г

£ = + е^ (2.7)
.(х) — ф₂(х)| < 8e^{L[x Г}' + ~

~

тенгсизлик уринли булади.
Исбот: Аввал т < х, х6/ интервални курайлик (х < т, х£/ ^олда муло^азалар шунга ухшаш булади). гр₁(х) ва Ф₂{х) функция- лар E_a- ва в₂-тацрибий ечим^булгани учун {х: т < х, х £ I}\S тупламд

а
f(X, Ф;(Х)) f(X, ф.,(Х))

i(x)
dx
dtp₂(^x)
dx

X 1 <Г,(х) — Ф1(т) — Ф1 (l))dt * %	<	X I т	Т -«S. Ф: (£))^
X ф,(х) — ф2(т) — J Я^.ф.ДМ %		X 1 т

уринли булади. Бу тенгсизликларнинг икки томонини т дан х гача интегралласак:


<р_г(х—т), < Е_а(х—т).



Хар икки тенгсизликликнинг унг ва чап томонларини ^адма-^ад кушиб, + в* = в, ф₁ (х) — ф₂(х) = q (х), | q (х) \ = q (х) десак ва маълум |а — р | < | а | + | р | тенгсизликдан фойдалансак, цуйидагига эга буламиз:


\q(x)—q(x)— j[f(E.Vi(E)) —f(S.«P*(E))]b|
T
Бундан
I Q(x)\ — |?(t)|
.f U (E. 44(S)) — f (Б.фД))№
t AT
— f Ш.ФхШ) — ftE. ф₂(£)М
x
тенгсизлик уринли булгани учун
X
q(x) < q(т) + j | f{l, cpj(g)) — f(l, cp₂(S)) | dl + e(x — т )
T
муносабат келиб чикади. f(x, у) функция Липшиц [шартини каноат-
X
лантиради. Шунинг учун q(x) <: q(т) + L\q(£)d£, + е (х^ — т).
Агар охирги тенгсизликда if(x) = q(r) + е(х'—т), ф (£) = % — L деб, кейинги параграфда исботланадиган (2.9) тенгсизликни куллансак ва q(r) < б эканини ^исобга олсак, ушбу f/(x) < 8е^Цх~^г> + + -^-(e^{L(J: х)} — 1) тенгсизликни ^осил циламиз. Биз (2.7) муносабат-
ни т < х, х£1 интервал учун исботладик. Агар х < т, х(Ц интер- вални курсак, тегишли интеграллашлар х дан т гача олиб бсрилади ва
q(x) < 6е '~^Цх~^г) -f (_е~ ^Цх~^г)— 1)
тенгсизликни з^осил циламиз. Икки ^олни умумлаштириб ёзсак, (2.7) муносабатга келамиз. 2.4-теорема исбот булди.

1. 
   натижа. Агар е_г тацрибий ечим учун ф, (х) = Y(х), х 6/ бу­либ, Y(x) (1.1) дифференциал тенгламанинг аниц ечими булса, у %олда б-»-0, е₂->0 да ф₂(х)—Y(х) булади.
   

Да^ицатан, (2.7) дан Y(x) — ф.₃(х)| < 6e^L,*~^T| + (e^{L |JC-T|} — 1).
Агар б-»-0, е₂-»-0 булса, изланган муносабат з^осил булади.

2. 
   натижа. (2.7) тенгсизликдан ягоналикни исботлашда фой- даланиш мумкин.
   

Ушбу у = Ф;(х) ва у = ф₂ (х) функциялар (1.1) дифференциал тенгламанинг бир хил х₀, у_в бошлангич цийматларга эга булган ва тегишли /,, /₂ интервалларда аницланган икки анщ ечими булсин. Равшанки, х₀ 6 /цПА. 9i(^₀) = Фг(^о)- Шунинг учун | ф_х(х) — ф.₂(х₀) |<

• 
  б дан 6 = 0 экани, ф_х(х), ф₂(х) ларнинг анщ ечимлигидан = = 0, t'j — 0 экани келиб чикади (2.7) га кура /, f| /₂ интервалда
  = Ф_а(х).
  

q(x)—q(r) —
2- §. ИНТЕГРАЛ ТЕНГСИЗЛИКЛАР
Мазкур параграфда баъзи му^им интеграл тенгсизликл р ва улар- нинг ^улланилиши билан шугулланамиз.

1. 
   2.5-теорема. Агар г_х < х < л₂ интервалда аницланган ва узлуксиз ф(х) > 0, я|?(х)>0 ва Х(х)>0 функциялар учун
   

X

Я

Исбот. = |х[(1)ф(|)$; деб белгилаймиз. Равшанки, r_t
q(r₁) = 0. Бундан = у (х) ф(х) келиб чикади. Энди dx
Ю. = _Х(х) _Ф(х),
АГ
X (х) <7 (х) = х (*) j X (s) Ф (s)ds
системани курайлик. Биринчи тенгламанинг чап ва унг томонлари- дан мос равишда иккинчисини айириб, (2.8) дан фойдалансак,
~l(x)q(х) < х(^(х)-
%
Бу тенгсизликнинг икки томонини e\y_(u)du га купайтириб, г_х дан х
а
гача интеграллаймиз:

0. 
   (Е) « | + j (£)е dl — j y{l)q{l)e cig < jx (Ш (|)ХБундан
   

Т Т
[•/.('! )du _х f %(u)du
q(x)e < j Ж(£ЖЕ)е dl
Г1
T
j%(u)du
X
келиб чи^ади. Энди бу тенгсизликнинг икки томонини е га бул- сак,
Т I т т
—jx( u)du_x [x(u)du _х |х(к№—|зс(к)<*«
q(x)^e ^x Jx(£ME)e⁶ dE “= |х(&ЖЕ)е* * ^dl =
r,
t
_x jx(u№+Jx(«)rf« _x j\(u)du
=J X(g)it>'(g) e^{& T} dg = Jx(EW>(E)e⁶ dl.
ri r_t
Шундай ^илиб,
X fx(n)du
X(g)¹f(g)e dg.
r 1

8. 
   дан <^(x)J< cp(x)— *ф (дг) булгани учун охирги муносабат (2.9) нинг узидир.
   

Биз 1^уйида|Гронуолл — Беллман тенгсизлигининг тез-тез учраб турадиган икки хусусий ^олини таъкидлаб утамиз.
2.^6- теорема. Агар г_х < х < г.₂ интервалда аницланган, узлук- сизУр(х) > О, %>0 функциялар ва бирор узгармас сон О 0 учун
X
q>(*)(E)dE (2.10)
«ч
тенгсизлик уринли булса, у хрлда tuy г₁ < г₂ интервалда
X
Ф(хД < С expj х (£) dl (2.11)
r_t
тенгсизлик %ам уринли булади. Бу тенгсизлик Гронуолл тенгсиз. лиги деб юритилади.
2. 7-те орем а. Агар r_L < х<г₂ интервалда аницланган ва уз­луксиз ф (х) функция учун а > 0, р > 0 ихтиёрий узгармас булганда
л.
Ф(х)<|(аф (Q + $)dl (2.12)
тенгсизлик уринли булса, у хрлда < г₂ интервалда
14 „/.А^ Р ( _o0Kx-r₁)_₁ \ ft^n ftiinrn- (9 1ГП

2. 
   ф(х)<Р(х — rj, агар а = 0, р>>0 булса, (2.14)
   

тенгсизликлар %ам уринли булади.

2. 
   Энди Гронуолл тенгсизлиги ^улланиладиган ягоналикни исбот- лашга дойр масала курайлик. Бирор г_х < х < г₂ интервалда __ ани^-
   

ланган x(t) ва y(t) функциялар мос равишда ушбу
х(О=х₀,