dfx = f„(x, y), y(xn) = yn, n = 1, 2, . . . (2.18„)
Коши масаласининг ечими ва п-+-со да
хпхо> Уп-*-Уо (2-19)
булсин. У %олда [х0, х0 + а] интервалда текис яцинлсшувчи уп (х), уп (х) , . . . цисмий кетма-кетлик мазжуд. Исталган шундай цис- мий кетма-кетлик учун
у0(х)= lim у(х) (2.20)
лимит функция [х0, х0 + а] интервалда
Jx=fo (х> У)’ У (хо) = У о (2.1 во)
Коши масаласининг ечи'ми булади. Хусусан, агар [х0, х0 + а] интервалда (2.180) масала ягона у0(х) ечимга эга брлса, у %олда
У о (х) — lira. г/п(х)([х0, х0 + а] да текис) (2.21)
П-роо
булади.
Исбот. fx(x, у), f.,(x, у), ... функциялар Р* тугри туртбур-
чакда узлуксиз булиб, унда (2.18) даги яцинлашиш текис булгани
учун шундай мусбат узгармас К мавжудки, п = 0, 1, 2, . . . ва
(*, у) £Р* учун \у'п(х)\ = \fn(x, у(х))\<К тенгсизликлар бажари-
лади. Бундан К Липшиц узгармаси экани келиб чикади. Демак,
{fn (х, у)} кетма-кетлик текис даражали узлуксиз булади. Бу кетма-
кетлик й текис чегараланган ^ам, чунки | уп(х) — г/01 < Шунинг
учун текис якинлашувчи кисмий кетма-кетликнинг мавжудлиги 2.2-
теоремадан келиб чикади. Энди (2.18) муносабатдан, (2.20) даги
яцинлашишнинг текислигидан ^амда 2.3-теоремадан &-»-оо да [х0,
ха + а] интервалда f (х, у (x))->-f0(x, у(х)) текис яцинлашиш nk nk
X
келиб чикади. Демак, уп(х) = уп + j fn(l, yn(Q)dl тенгликда (п —
хп
tik ва k-*-oo да) интеграл остида лимитта утиш мумкин. Бундан (2.18) муносабат билан ани^ланадиган у0 (х) функция (2.180) масаланинг ечими экани келиб чикади.
Теореманинг охирги тасдигининг тугрилигига илонч з^осил цилиш учун (2.180) масаланинг у0(х) ечими ягона деб фараз этилиши текис якинлашувчи У\(х), уг(х), . . . , уп{х), . . . кетма-кетликнинг ^ар бир цисмий кетма-кетлигининг лимити шу у0(х) функциядан иборат эканини англатади. Бундан 2.2-теэрэмага к^ра (2.21) нинг тугри- лиги келиб чикади.лемма. f(x, у) функция Р* = {(х, у):х0 <: х <: х0 + а, | у — уи | < Ь) тугри туртбурчакда анщланган ва узлуксиз, I f(x, I Ь\ ......
у) | < М а — min a,~^j булсин. У %олда Коши масаласи х0 < х <
;г = f(*> У)> У(х») <У о
ах
масаланинг ихтиёрий у = у (х) ечими учун х0 < х < х0 -f- а интервалда у{х)^у°(х) тенгсизлик уринли булади.
Исбот. 0<сс'<а булсин. Ушбу
j- — f (х> У)+—, У{хо) = Уо (2-22)
ах п
Коши масаласини курамиз. Бу масала п етарли катта булганда х0 SS х < х0 + а' интервалда у = уп (х) ечимга эга. 2.7- теоремага кура шундай ^исмий кетма-кетлик пи п2, ... , nk, ... , п1 < п., <
... < nk < ... мавжудки, лимит функция (якинлашиш текис)
У° (х) = I™ у (х)
k~+oo к
ушбу ^ = f(x, у), у(х0) = у0 масаланинг х0 < х < х0 + а' интервалда ани1утгашан ечими булади. Энди етарли катта п учун
у(х) < Уп (х), х0 < х < х0 +’а (2.23)
тенгсизликни исбот этамиз. х = х,, х0 < х, с х0 + а ну^тада y{x1)>yn{xi) булсин. У зфлда узлуксизлик туфайли х0 < х <;xL интервалда шундай х.,, х0 < xL < хг ну^та тогшладики, х2 <Г х < хх интервалда у (а)> уп(х), у(х£) = уп(хг) булади. Бу бир томондан. Иккинчи томондан, х0 < х < х0 + а' да (2.22) тенгламанинг ечими уп(х), демак,
yn(x)^f(x, Уп(х)) + \ уп(х0) = у0.
х = х2 булганда у’п (х2) = f (х2, уп (х2)) + -^- у (х2) = уп (х.2) ни ^исоб-
га олсак, у’п(х2) = f(хг, у(х2))+-^ = у (х.) +
Энди х.г нуктанинг етарли кичик унг атрофидаги ну^таларида уп{х) учун Тейлор формуласини ёзамиз (х2<х<х1):
Уп (х) = Уп (*ъ) + Уп (X J (Х ~ хг) + о (1 X — х21) =
= Уп W + у' (хг)(х— х2) + — (х— X.,) + Ох(\ X— х2().
п
Равшанки, х2 <; х < хг интервалда
У (х) = У (х2) + у' (х2) (х — х2) + ог (\ х — хй |).
Бундан фойдалансак:
Уп (х) = Уп (л'2) +y(x) — y(x.J — o„(\x — >:,) | +
Do'stlaringiz bilan baham: |