Комплекс ўзгарувчили функция интеграли, хоссалари ва уларни ҳисоблаш

Комплекс ўзгарувчили функциянинг интеграл ҳисоби. Эгри чизиқ бўйича интеграл ва уни ҳисоблаш усуллари. Ньютон-Лейбниц формуласи. Коши теоремаси. Кошининг интеграл формуласи. Юқори тартибли ҳосилалар.

1. 
   Комплекс ўзгарувчили функция интеграли,
   

хоссалари ва уларни ҳисоблаш
Айтайлик, бир боғламли D соҳада бир қийматли функция аниқланган ҳамда узлуксиз бўлиб, С у соҳада ётувчи бирор силлиқ чизиқ бўлсин. Ушбу С чизиқни ихтиёрий равишда нуқталар воситасида n та бўлакка бўлиб,
каби йиғинди тузамиз (бу ерда ). Бу йиғиндини функциянинг С чизиқ буйлаб интеграл йиғиндиси дейилади. деб белгилаш киритайлик,
Таъриф. Агар нолга интилганда ( n эса чексизликка интилади), йиғинди аниқ битта чекли лимитга эга бўлиб, бу лимит С чизиқнинг бўлиниш усулига боғлиқ бўлмаса, у лимит функциянинг С чизиқ бўйича интеграли деб юритилади ва қуйидагича ёзилади:
(1)
Агар С ёпик эгри чизиқ бўлса, юқоридаги интеграл каби ёзилиб, С ни интеграллаш контури дейилади. эканлиги назарда тутилса, мазкур интегрални ҳисоблаш, иккита ҳақиқий ўзгарувчили функцияларнинг иккита эгри чизиқли интегралларини ҳисоблашга келтирилади яъни:
(2)
Хоссалари:

1. 
   .
   
2. 
   , где .
   
3. 
   Агар ёй С ёй билан геометрик устма-уст тушиб, тескари йўналишга эга бўлса
   

4. 
   Агар С ёй бўлаклардан иборат бўлса
   

5. 
   
   
6. 
   Агар С чизиқнинг барча нуқталарида , ҳамда С ёйнинг узунлиги l га тенг бўлса,
   

.
Интегрални ҳисоблашнинг турли хилдаги усуллари мавжуд бўлиб, улардан айримларини келтирамиз.
а) Агар С чизиқ ўзининг кўринишдаги параметрик тенгламалари билан берилган бўлса, у ҳолда қуйидаги тенглик ўринли бўлади:
(3)
бу ерда
б) Агар С чизиқ , ( ) тенглама билан берилган бўлса, ни аниқ интегралга келтириб ҳисобланади.
в) Агар функция бир боғламли D соҳада аналитик бўлиб ва лар D га тегишли нуқталар бўлсалар, у ҳолда Ньютон-Лейбниц формуласи ўринли бўлади:
бу ерда,
г) Агар ва лар бир боғламли D соҳада аналитик функциялар бўлиб, ва лар шу соҳада ётувчи ихтиёрий нуқталар бўлсалар, у ҳолда, қуйидаги бўлаклаб интеграллаш формуласи ўринли бўлади:
(4)
д) Комплекс ўзгарувчили функцияларнинг интегралида ҳам ўзгарувчини алмаштириш усулини қўллаш мумкин. Мазкур усулни қўллаш айнан ҳақиқий ўзгарувчили функциянинг интегралидагидек бажарилади. Хусусан, агар С чизиқ, маркази нуқта бўлган айлана бўлса, алмаштиришни киритиш кулайрокдир. Шунингдек, С чизиқ, нуқтадан чиқувчи нурдан иборат бўлганда ҳам ушбу алмаштиришдан фойдаланиш тавсия этилади (бунда ўзгармас бўлиб ):
Мисол. интегрални ҳисобланг, бу ерда С – айлана ёйи.
Ечиш. бўлсин, у ҳолда
Маълумки, кўп қийматли функциянинг ҳар бир қиймати унинг тармоги деб аталар эди. Масалан, функция икки қийматлидир. Унинг тармоклари: . Кўп қийматли функциялардан интеграл ҳисоблашда унинг битта тармоги бўйича ҳисобланилади. Ўша тармокни ажратиб олиш максадида мисолнинг ўзида кушимча шарт берилади.

2.