Комплекс ўзгарувчили функция интеграли, хоссалари ва уларни ҳисоблаш

Коши теоремаси.

Комплекс ўзгарувчили аналитик функцияларнинг бирор ёпик С контур бўйича интегралларини ҳисоблашнинг энг кўп қўлланиладиган усулларини қуйида баён этамиз.
Коши теоремаси. Агар бир боғламли D соҳада функция аналитик бўлса, D соҳада ётувчи ҳар бир С ёпик контур буйлаб функциядан олинган интеграл нолга тенг бўлади:
(5)
Исбот. функция аналитик бўлганлиги учун ва функциялар Коши – Риман шартларини қаноатлантиради
, ,
(2) формулага асосан
,
Ёпиқ контур бўйича олинган ва интеграллар эгри чизиқли интегралнинг хоссасига кўра нолга тенг.
Шунинг учун .

3. 
   Кошининг интеграл формуласи. Юқори тартибли ҳосилалар.
   

Кошининг интеграл теоремасидан комплекс ўзгарувчили функциялар назариясинингмуҳим формуласи келиб чиқади.

Теорема. функция мусбат ориентацияланган С ёпик контур билан чегараланган бир боғлами D соҳада аналитик бўлса, D соҳага тегишли бўлган нуқта учун
(6)
формула ўринли.
(6) тенгликнинг ўнг томонидаги ифодага Коши интеграли деб аталади.Бу формуланинг муҳим томони шундаки, аналитик функциянинг соҳа чегарасидаги қийматларини билган ҳолда, унинг соҳа ичидаги ихтиёрий нуқтадаги қийматини топиш мумкин.
Агар функция D соҳада ва унинг чегараси бўлган ёпик контурда аналитик бўлса, у ҳолда ҳар қандай n натурал сон учун қуйидаги формула ўринли бўлади:
(7)
бу ерда: . (7) тенгликка юқори тартибли ҳосилалар формуласи деб аталади.
Интегралларни ҳисоблашда (6), (7) формулаларнинг қулайроқ бўлган қуйидаги кўринишлари ишлатилади:
.
Мисоллар.

1. 
   Ушбу интеграл ҳисоблансин, буерда С –чизиқ ва нуқталарни туташтириб турувчи тўғри чизиқ кесмасидан иборат.
   

Ечилиши:
2. ҳисоблансин.
Ечилиши. Интеграл ишораси остидаги функция аналитик бўлганлиги сабабли Ньютон-Лейбниц формуласини куллаймиз:

3. ҳисоблансин.
Ечилиши.
Интеграл остидаги функция нинг нуқтасидан бошка нуқталарида аналитикдир. Шу сабабдан юқори тартибли ҳосилалар формуласини қўллаш мумкин: