2. 3-§. Тўртинчи тартибли гиперболик типдаги тенглама учун бошланғич масала Коши масаласи

2.3-§. Тўртинчи тартибли гиперболик типдаги тенглама учун бошланғич масала
Коши масаласи.


(1)
_{тенгламанинг}
(2)
бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин, бу ерда ва лар — Даламбер (тор тебраниш) операторлари, ва лар эса берилган функциялар.
Бу масалани ечишдан аввал қуйидаги леммани исботлаб оламиз.
Лемма. Агар функция тенгламанинг, функция эса тенгламанинг ечими бўлса, у ҳолда функция тенгламанинг, яъни
(3)
тенгламанинг ечими бўлади.
Исбот. Ҳақиқатан ҳам,



.
Унда


Лемма исботланди.
Маълумки, тенгламанинг умумий ечими кўринишга, тенгламанинг ечими эса кўринишга эга. У ҳолда юқорида исботланган леммага асосан, (1) [(3)] тенгламанинг умумий ечими қуйидаги кўринишга эга бўлади:
(4)
бу ерда ва — тўрт марта узлуксиз дифференциалланувчи ихтиёрий функциялар.
Энди қўйилган масаланинг ечишга ўтамиз. Бунинг учун (4) умумий ечимни (2) бошланғич шартларга қўйиб, қуйидаги системага эга бўламиз:
(5)
бу ерда ва — номаълум функциялар.
(5) системанинг учинчи тенглигини оралиқда икки марта, охирги тенглигини эса уч марта интеграллаймиз:
(6)
(6) системадан номаълум ва функцияларни аниқлаймиз:

(7)

(8)
Бу ерда — ихтиёрий ўзгармас сонлар.
(7) формулада ни билан, (8) даги ни билан алмаштирамиз ва ифодага қўйиб, қуйидаги (10) тенгликни ҳосил қиламиз:


(9)
Ҳосил бўлган ва функцияларни (5) системага қўйиб, ва функцияларни топиш учун қуйидаги системага эга бўламиз:
(10)
(10) системанинг иккинчи тенглигини оралиқда интеграллаб, қуйидаги кўринишда ёзамиз:

(11)
Охирги системани ечиб, ва функцияларни топамиз:


(12)


(13)
(12) формулада ни билан, (13) даги ни билан алмаштирамиз ва ифодага қўйиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:



(14)
Демак, {(1), (2)} масаланинг ечими (9) ва (14) га асосан (14) кўринишда бўлар экан: