1-амалий иш. КЎчиш тенгламаси учун час қуриш

1-АМАЛИЙ ИШ. КЎЧИШ ТЕНГЛАМАСИ УЧУН ЧАС ҚУРИШ
1.Дифференциал масаланинг қўйилиши.
-дифференциал тенглама, ,
-бошланғич шарт, ,
-чегара шарт, , ,
- чегара шарт, , .
Топиш керак: Бошланғич, чегара шартлар, дифференциал тенгламани қаноатлантирадиган u=u(x,y,t) функцияни. Афсуски, бу функцияни аниқ топиб бўлмайди. Шунинг учун, u=u(x,y,t) функцияни D соҳадани бирор нуқталар тўпламидаги-тўрдаги қийматлар тўпламини топамиз. Бунинг учун дифференциал масалани дискрет масала-чизиқли тенгламалар системаси- чекли айирмали схема ( қисқароқ, ЧАС) билан алмаштирамиз. ЧАСни ечиб ечимнинг ыийматлари жадвалини топамиз.
Берилган дифференциал тенглама учун ЧАСлар қурамиз. Технология қуйидагича:
1)D-соҳада тўр киритамиз:
.
текисликдаги нуқталар тўплами k-қатлам дейилади.
Қисқалик учун фазода ушбу тўр нуқталарини қараймиз: .
2)Дифференциал тенглама ва қўшимча шартларни тўр нуқталарида ёзамиз:
.
Берилган ҳосилаларни ушбу чекли айирмали ҳосилалар билан алмаштирамиз:
(1)
тақрибий ечим жадвали -тўр функцияни шундай киритамизки, ушбу тенгликлар бажарилсин:
,ошкор схема, (2)
ёки
,ошкормас схема. (3)

1. 
   тенгламалар системасини чексиз кичик миқдорлар билан аниқ ечим жадвали қаноатлантиради. Бунда айирма матрица
   

нуқталардаги хатолик матрицаси дейилади.
Ошкор схемани ноъмалумга нисбатан ечиш мумкин:
. (4)
Бу схемада иккита қатламдаги нуқталар ўзаро боғланган. Шунинг учун схем икки қатламли дейилади. Унга бошланғич ва чегарашартларнинг аппроксимациясини бириктирамиз:
(5)
Ошкормас схемани юқоридаги қатламдаги ноъмалумга нисбатан ечиб бўлмайди, чунки юқоридаги қатламда энди учта ноъмалум бор:

, (6)
.
Унга яна қўшимча шартлар (5) ҳам қўшиб қўйиш керак. Аслида (6) схема ҳам реккурент формулалар билан ечилади. У ҳам ошкормас схема бўлишига қарамасдан, ўзини ошкор схема каби тутади. Уни қуйида кўрамиз.
Схемаларни текширамиз:
1)Ечилиши
Ошкор схемада 0-қатламда ва чегараларда ноъмалум функция қийматлари маълум. Шунинг учун барча бошқа қатламлардаги қийматлар реккурент формула (4) ёрдамида қатламдан қатламга ўтиб топилади:
Ошкор схемани марказий ноъмалумга нисбатан ечиш мумкин:
. (4)
Ошкор схема ечими шу рекурент формула асосида топилади.
Ошкормас схемани қуйидагича ёзиб оламиз:
(5) (6)
(5) тенгламаларни қуйидагича ёзиш мумкин:
.(5’)
Бу тенгламани га нисбатан ечиь оламиз:
. (7)
Ошкормас схема ҳам шу реккурент формула асосида кетма кет ечилади.
Бу схемани тузишда иштирок этган нуқталар тўплами схеманинг шаблони дейилади ва қуйидаги кўринишга эга (бизда n=k):

(5), (5’) тенгламаларнинг юқори қатламдаги қийматлари қора рангли айлана, қуйи қатламдагиси оқ айлана кўринишда белгиланган. Бу тенгламаларнинг матрицаси уч диогоналли матрицага келтирилишига қарамасдан бу схема ҳам реккурент формулалар (7) билан ечилади, чунки шаблонга қарасак (i-1,j, k+1),(i,j-1,k+1) нуқталар чегарага тегишли, улардаги қийматлар берилган, (i,j,k) нуқталар пастки қатламда берилган, бу нуқталарда 0-қатламдан бошлаб ҳисоблаш бошланганлиги учун реккурент формула асосиданоъмалум қийматлар секин-аста топиб борилади.
2) Аппроксимация. Энди аппроксимациянинг тартибини, яъни 0 га интилиш тезлигини топамиз. Тейлор формуласига асосан ҳар бир касрда биринчи ҳадни ёйиб топамиз:
чунки, дифференциал тенглама соҳанинг ҳар бир нуқтасида бажарилади.
.
Топилган тақрибий жадвал ҳақиқатан ҳам аниқ ечим жадвалининг тақрибий қийматлари бўлиши учун аппроксимация шарти бажарилиши керак: чекли айирмали схемага тақрибий қийматлар жадвали ўрнига аниқ қийматлар жадвалини қўйсак, (3) келиб чиқади. Бу ерда қадамларни 0 га интилтирамиз ва хусусий ҳосилаларнинг таърифларидан фойдаланамиз. Демак,:

яъни нуқтада дифференциал тенглама келиб чиқди. Демак, айирмали схемадан дифференциал тенглама келиб чиқяпти. Бу айирмали схема дифференциал тенгламага лимитда интилишини кўрсатяпти.Агар шундай маънодаги аппроксимация шари бажарилса, тақрибий ечим жадвали аниқ ечим жадвалига яқин бўлиши мумкин. Акс ҳолда тақрибий ечим жадвали ихтиёрий бошқа жадвал бўлиши мумкин. Демак, аппроксимация хатолиги тенг экан:
.
3) Турғунликни текширамиз. Соддалик учун 1 та фазовий координата учун қараймиз. масалан, y=0 ,бўлсин. у ҳолда схема қуйидаги кўринишга эга:
.
Ошкормас схема турғунлиги. ЧАС нинг ечимини бир жинсли ҳол учун (f=0) гармоника кўринишда излаймиз:
.
Гармоникани ЧАСга қўямиз (ёки биратўла ечим формуласига қўямиз):

Демак, ўсиш коэффициенти модул бўйич бирдан кичик ва абсолют тургун. Ошкор схема шартли турғун: .
Хулоса. Филлипов теоремасига асосан, схема дифференциал масалани аппроксимация қилса ва турғун бўлса, бу схема яқинлашувчан бўлади.
Топшириқ. Келтирилган схемаларнинг аппроксимацияси, турғунлиги, яқинлашишини ўзингиз бажариб кўринг.
Саволлар: 1.Дифференциал масала нима? 2.Дискрет масала (чекли айирмали схема ) нима? 3.Соҳада тўр нима? 4. Чекли айирмали схема қуриш технологияси нима? 5. Ҳосилаларнинг чекли айирмали аппроксимацияси нима?
6.Дифференциал операторнинг чекли айирмали аппроксимацияси нима?
7. ЧАС нинг яқинлашиши нима ? 8. ЧАСнинг турғунлиги нима?
9. Ошкор, Ошкормас схема нима? 10. Шаблон нима? 11. Филлипов теоремаси нима ?