Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

1.3.3–misol.Ushbu funksiya berilgan bo’lsin. Bu funksiya uchun

demak, ;

demak,

Shunday qilib, berilgan funksiya grafigining asimptotasi to’g’ri chiziqdan iborat.

Faraz qilaylik, funksiya grafigi chizmada tasvirlangan egri chiziq bo’lib, egri chiziqdagi biror nuqta bo’lsin.

1.3.3-chizma

Bu nuqtaning o’qiga proyeksiyasini bilan belgilaylik. esa funksiya grafigining asimptotasi bo’lib, bu asimptota o’qi bilan tashkil etgan burchak bo’lsin. nuqtadan asimptotaga tushirilgan perpendikulyar kesmasi. to’g’ri chiziq kesmasini asimptota bilan kesishgan nuqtasi. Ravshanki,

Ushbu chiziq funksiya grafigining asimptotasi bo’lgani uchun da funksiya nolga intiladi. U holda da ham nolga intiladi.

Demak, funksiya grafigidan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan

masofa nuqta grafik bo’yicha cheksiz intilganda ) nolgacha kamayadi. (Buni funksiya grafigining asimptotasi ta’rifi sifatida ham olish mumkin.)

Funksiyalarni tekshirish. Grafiklarni yasash

Biz ushbu bobning o’tgan paragraflarida funksiyalarning o’zgarish xarakterini hosilalar yordamida o’rgandik. Bu hol funksiyalarni yaqqol tasavvur etishda, shuningdek funksiya grafigini aniqroq yasashda qo’l keladi.

Funksiyalarni tekshirish va ularning grafiklarini yasashni quyidagi sxema bo’yicha olib borish maqsadga muvofiqdir:

Funksiyaning aniqlash to’plamini topish;

Funksiyani uzluksizlikka tekshirish va uzilish nuqtalarini topish;

Funksiyaning juft, toq hamda davriyligini aniqlash;

Funksiyani monotonlikka tekshirish;

Funksiyani ekstremumga tekshirish;

Funksiya grafigining qavariq hamda botiqligini aniqlash, egilish nuqtalarini topish;

Funksiya grafigining asimptotalarini topish;

Funksiyaning haqiqiy ildizlarini (agar ular mavjud bo’lsa, shuningdek argument ning bir nechta xarakterli qiymatlarida funksiyaning qiymatlarini yasash.

1.3.4-misol.Ushbu

funksiyani tekshiring va grafigini yasang.

Berilgan funksiya intervalda aniqlangan va uzluksiz. Bu funksiya uchun tenglik o’rinli. Demak, juft funksiya (uning grafigi o’qiga nisbatan simmetrik bo’ladi), uni oraliqda tekshirish yetarli.

Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:

Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi oraliqda mavjud va nuqtada nolga aylanadi. Shu nuqtada ikkinchi tartibli hosilasini hisoblaymiz. Bundan berilgan funksiya da minimumga ega va da bo’ladi. Endi da bo’lganidan berilgan funksiyaning oraliqda o’suvchiligini topamiz. So’ngra ushbu

limitlarga ko’ra gorizontal to’g’ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi ekaniga va

tengsizlikka ko’ra funksiya grafigi asimptotadan pastda joylashgan bo’lishiga ishonch hosil qilamiz.

Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi oraliqning nuqtasida nolga aylanadi. Ravshanki, da da Demak, funksiya intervalda qavariq, intervalda botiq bo’ladi. nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasidan iborat. Berilgan funksiyaning grafigi chizmada tasvirlang

1.3.4-chizma