Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Мисол 1.

Булар берилган тенгламанинг ечими булади. Демак улар махсус ечим булиши мумкин. Берилган тенгламанинг умумий ечимини топамиз
бу биржинсли тенглама


(10)

Бу боши ордината укида булиб, узгарувчи параметрга боглик булган параболалар оиласидан иборатдир.

махсус ечимдир чунки унинг ихтиёрий нуктасидан (10) параболалар оиласининг киймати билан аникланувчи параболалардан бири утади. Бу махсус ечим, параболалар оиласининг урамасидан иборатдир.
Мисол 2.

р ни йукатсак р- дискримиантини топамиз.
y=0 бу берилган тенгламани каноатлантиради.
Унинг махсус ечими ёки махсусмаслигини билиш учун берилган тенгламани умумий ечимини топамиз.

y=0 ечим узгармас c нинг хеч кандай кийматида умумий ечимдан келиб чикмайди. Шунинг билан бирга у махсус ечим эмас, чунки интеграл эгри чизиклар абцисса укини кесмайди.
Мисол 3.

p- дискриминат топамиз лекин тенглама ечими эмас демак у махсус ечим хам булаолмайди.
2 ХОЛ Юкорида курдикким, агар берилган дифференциал тенглама ларга нибатан алгебраик купхадлидан иборат булса, топилган махсус ечим хам х,у га нисбатан алгебраик функциядан иборат булади.
Фараз этайлик (3) тенгламанинг умумий интеграли
(11)
берилган булсин.
Маълумки (11) эгри чизиклар оиласининг урама чизиги мавжуд булса, у (12) тенглама ва (11) дан параметр с ни йукотиш натижасида хосил булган
(13)
Эгри чизик билан аникланар эди. (13) га с –дискриминанти чизиги дейилади. Агар бу эгри чизик (11) эгри чизиклар оиласининг урамаси булса, у биринчидан (3) тенгламанинг ечими булади. Хакикатдан хам ураманинг хар бир нуктасидаги элемент, (11) интеграл эгри чизиклар оиласининг биттасининг элементи билан мос келади. Лекин (11) интеграл эгри чизиклар оиласи (3) тенгламанинг ечими булгани учун, ураманинг хамма элементлари хам бу тенгламани каноатлантиради.
Яъни урама тенгламанинг ечими булади. Иккинчидан бу урама махсус ечим булади чунки урама нукталаридан умумий уринмага эга булган иккита интеграл эгри чизиклар утади, бу эгри чизиклардан бири (11) оиланинг эгри чизиклари, иккинчиси эса урама чизигининг узидир. Яъни урама нукталарида Коши теоремасининг ягоналик шарти бажарилмайди.
Демак берилган тенгламанинг умумий интеграли маълум булса, унинг махсус ечим (11) ва (12) тенгламадан параметр с ни йукотиш натижасида хосил килинади. (агар йукотиш натижасида хосил килинган эгри чизик тенгламанинг каноатлантирса)
Мисол
тенгламанинг умумий интегралини топамиз.







Бу берилган тенгламанинг умумий интегралидир. Умумий интеграл, маркази абсцисса укида ётиб, радиуси марказ абсциссасининг ярмига тенг булган айланалар оиласидан иборатдир.
Махсус ечимни аниклаймиз. Юкорида айтилганларга кура:

с-дискриминант эгри чизик тенгламасини тузамиз:
,
бундан
(15)
га эга буламиз.Биринчидан бу, умумий интеграллар оиласининг урамаси, иккинчидан булар берилган тенгламанинг ечими.
Демак берилган тенгламанинг махсус ечими.
Унинг махсус ечим эканлигига ишониш учун унинг ихтиёрий хар бир нуктасига, тенгламанинг бошка интеграл чизикларининг уринишини аниклаймиз.
Маълумки иккита эгри чизикларнинг, абсциссаси х₀ булган нуктада уриниш шарти
(16)
дан иборатдир.
Бу шартнинг тенгламанинг

интеграл чизиклари учун бажарилишини текширамиз.
(16) га асосан х=х₀ да
(17)
Буларнинг иккинчисидан

Бу кийматни (17) нинг биринчисига куйсак
соддалаштирсак
га эга буламиз. Бу тенглик х₀ нинг хамма кийматларида уринлидир.
Демак (15) ечимнинг абсциссаси х₀ булган хар бир нуктасига , (14) ечимнинг да аникланган интеграл чизиги уринади.
(15) тенгламанинг махсус ечимидир.