Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

МАЪРУЗА 10
Махсус ечимлар
Таянч иборалар
Ечим, умумий ечим, махсус ечим, интеграл чизик, р-дискриминант, Липшиц шарти, эгри чизиклар оиласи, урама.

Маълумки Коши теоремасига асосан

(1)
дифференциал тенгламанинг унг томони бирор сохада узлуксиз булиб, унда у га нисбатан чегаралган хусусий хосилага эга булса, соханинг ихтиёрий хар бир ( ) нуктасидан биргина интеграл эгри чизиги утади.
Бу интеграл эгри чизик битта параметрга боглик булган эгри чизиклар оиласи таркибига кириб, параметрнинг аник соний кийматида аникланади.
Битта параметрга боглик булган эгри чизиклар оиласи умумий ечимни ташкил этиб, хар бир интеграл эгри чизиклар хусусий ечимларни ташкил этади.Ягоналик теоремасига асосан бу холда бошка хеч кандай ечим , шу жумладан махсус ечим хам мавжуд эмас.
ТАЪРИФ: Дифференциал тенгламанинг махсус ечими деб узининг хамма нуктасида бирлик хусусиятини каноатлантирмайдиган ечимга айтилади, яъни махсус ечимнинг ихтиёрий хар бир ( ) нуктасидан хеч булмаганда иккита интеграл эгри чизиги утади.
Коши теоремаси бирор сохада ечими мавжуд булмаслигини етарлиги шартини беради. Демак, аксинча махсус ечимнинг мавжуд булишлиги учун Коши теоремасидаги шартларнинг бажарилмаслиги зарурдир. Шундай килиб махсус ечимнинг XOY текислигининг шундай нукталарида излашимиз керакки у нукталарда Коши теоремасининг шартлари бажарилсин.Хусусий холда агар тенгламанинг унг томонидаги f(x,y) функция курилаётган соханинг хамма нукталарида узлуксиз булса махсус ечим Липшиц шарти бажарилмайдиган нукталардан утиши мумкин:
Агар f(x,y) функция курилаётган сохада у га нисбатан чекли ёки чекли булмаган хусусий хосилага эга булса, у холда Липшиц шарти хосила чексизликка айланадиган нукталарда бажарилмайди.
Бирок Липшиц шарти бажарилмаган нукталарнинг геометрик урни эгри чизик булган холда унинг махсус ечим булиши мумкин, лекин унинг махсус ечим булмаслиги хам мумкин.Чунки у эгри чизикнинг узи тенгламанинг ечими булолмаслиги мумкин яъни Коши теоремасидан махсус ечим учун факат зарурий шарт келиб чикади. узлуксиз ва чексиз булган хол, купинча иррационал функция булган холда учрайди.