Дифференциал тенгламани ечишда параметр киритш усули. Таянч иборалар

Мисол. 1
Бу хосила у=х да чегараланмаган. Лекин у=х функция тенглама ечими эмас. Шунинг учун у махсус ечим хам булалмайди.
Мисол 2.
Липшиц шарти бажаралимайдиган нукталарнинг геометрик урни у=х лекин у=х берилган дифференциал тенгламанинг ечими. Демак у=х махсус ечим булиши мумкин. Буни текшириш учун берилган тенгламанинг умумий ечимини топамиз.


Лагранж тенгламасининг умумий ечими
(2) булади
булганлиги учун булади.
Умумуий ечим ярим параболалардан иборатдир. тугри чизикнинг харбир нуктасидан (2) тенгламадан кийматида аникланувчи парабола утади. Шундай килиб у=х мухсус ечим.
Демак (1) тенгламанинг махсус ечимни топиш учун, Липшиц шарти бажарилмайдиган нукталарни урини топиш керак.
Агар бу урин бир ёки бир неча эгри чизикларни ташкил этса, бу эгри чизикларнинг (1) тенгламани интеграл эгри чизики булишлигини текшириш керак ва унинг хар бир нуктасида ягоналик хоссасини бажарилмаслигини текширамиз.
Агар бу икки шарт бажарилса, топилган эгри чизик махсус ечим булади.
Фараз этайлик, хосилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли дифференциал тенглама
(3)
берилган булсин.
(3) тенгламанинг чап томони p га нисбатан n- нчи даражали келтирилмайдиган алгебраик купхадлидан иборат булсин. Яъни
(4)
бунда коэффициентларнинг хаммаси х ва у га нисбатан купхадлидир. (4) тенглама умумий айтганда n-та ечимга эга.
(5)
бу n- та тармокларидан факат хакикий тармокларни караймиз. Бу тармокларни хаммаси булмаган х ва у нинг кийматларида х ва у нинг узлуксиз функциялари булади.
Бу тармоклар учун Липшиц шартини бажарилишлигини текширамиз.
хосилани хисоблаш учун ошкормас функцияни дифференциалаш коидасидан файдаланиб (3) дан.
га эга буламиз.
Бу кейинги тенгликдан
(6) хосил булади
Лекин коэффициентларнинг хаммаси у га нисбатан дифференциаланувчи булгани учун (6) хосила ва махражи нульга тенг булмаган хамма кийматларда чекли ва узлуксиздир, яъни Липшиц шартини каноатлантирмайдиган х ва у нинг кийматлари

тенгламани каноатлантириши керак.
дифференциаллаш амали бажарилгандан сунг чап томонидаги у^’ урнига (3) тенгламадан аникланган f_i(x,y) функциялардан бирини олиш керак. Бошкача айтганда Липшиц шарти бажарилмайдиган нукталарнинг XOY текисликдаги геометрик урнини аникловчи тенгламани тузиш учун (3) ва (7) дан р ни йукотиш керак.Олий алгебрада, рационал операциялар ёрдамида икки алгебраик тенгламадан битта узгарувчини йукотиш усули берилади.Бунга бу тенгламаларнинг результанти дейилади.Результантнинг нульга тенглиги эса икки тенгламанинг умумий ечимига эга булиш шартидан иборат.Биз кураётган холда (7) , (3) дан у^’га нисбатан олинган хосиладир.Бу тенгламаларнинг результанти, га нисбатан (3) тенгламанинг дискриминантидан иборатдир.Дискриминантнинг нульга тенглиги берилган тенглама ва ундан хосила олиш натижасида хосил булган тенгламанинг умумий ечимга эга булиш шартидир. Бошкача айтганда (3) тенгламанинг узгарувчига нисбатан каррали илдизга эга булиши шартидир.
(3) ва (7) тенгламадан ни йукотсак
(8)
тенгламага эга буламиз.
Бу тенгламага (3) тенгламанинг р- дискриминант эгри чизиги дейилади.Умуман айтганда p-дискриминант эгри чизик бир ёки бирнечта эгри чизикларни ифода этади. Фараз этайлик (8) ни у га нисбатан ечиш мумкин булсин.
Яъни (9)
Агар (9) эгри чизик (3) тенгламанинг ечими булса, умуман айтганда, бу махсус ечим булиши мумкин.
Коида 1. Агар (3) тенгламанинг чап томони р га нисбатан купхадли булса, у холда
(7)
тенгламани тузамиз. (3) ва (7) тенгламалардан р ни йукотиб, дискриминант эгри чизикни аникловчи (8) тенгламани хосил киламиз. Агар бу тенгламадан аникланган функция дифференциал тенгламанинг ечими булса, у умуман айтганда махсус ечим булиши мумкин.