Г аусс интеграли. Иккиланган кдтлам п отен циали- нинг зичлиги бирга тен г булган Х,олда, у яъни

Г аусс интеграли. Иккиланган кдтлам п отен циали-
нинг зичлиги бирга тен г булган х,олда, у яъни
(71)

интеграл Гаусс интеграли дейилади.

Агар S ёпик, Л япунов сирти булса, Гаусс интеграли-
нинг к,ийматлари уш бу формула билан аниьуганади:
(72)
(72’)
(72) формуладаги биринчи иккита тенглик ихтиёрий булак-
лари силлик, ёпик, S сирт учун хам тўғри булади. Хақиқатан
хам, S шундай сирт бўлиб, х нуқта S нин гичида ётсин. Бу
нуқтани марказ қи либ, радиусли S нинг ичида ётувчи

220

( x ) сфера чизамиз (26 - чизм а). S ва ( x ) сиртлар билан
чегараланган сохада гармоник функция булгани учун




26- чизма. 27- чизма.
да

Демак,

Агар x нукта S сиртдан таш карида ётган булса,
функция S нинг ичида гармоник булади, у ҳолда

221
Энди S ёпик Ляпунов сирти булиб, х S булсин. х нук,-
тани марказ килиб етарли кичик , 0 < радиусли (x)
сфера чизамиз. S сиртнинг сферадан ташкарида ётган
к,исмини S₁ оркали, сферанинг S ичидаги кисмини
оркали белгилаб оламиз (27- чизма). Хосмас интегралнинг
таърифига асосан
(73)
х нукта S₁ ва сиртлар билан чегараланган сохaдан
ташкарида ётгани учун, бу сохада гармоник функция
булади. У холда

Демак, (73) га асосан

бўйича олинган интегралнинг кийматини ҳисоблаймиз. да

222

булгани учун

етарли кичик бўлганда сирт уринма текисликка
ёпишган ярим сферага яқин бўлади. Шу сабабли

Бу мулоҳазаларга тўлароқ ишонч ҳосил қилиш учун
п =3 бўлган ҳолда о;щинги интегрални ҳисоблаймиз. Маркази х нуқтада бўлган сферик координаталарни киритамиз:

У ҳолда
(75)

Ушбу
(76)
тенглик бажарилишини курсатамиз. Ш у мак,садда маркази хнук,тада булган ма\аллий координата системасини киритамиз. укни х нуктада S сиртга утказилган нормал буйича йуналтирамиз, текислик сифатида х нуктада S га утказилган уринма текисликни оламиз. нук,талар сферанинг S Ляпунов сирти билан кесишган чизигида ётишини укдириб утамиз. Бу xолда (68)га асосан

тенглик уринлидир. Бунга асосан да cos нинг нолга текис, яъни х
га бокпик булмай, интилиши келиб чикади. Бундан дар*ол (76) тенгликнинг тугрилигига ишонч \осил киламиз.
Демак, (75) формулага асосан