Dars rejasi. Dars o‘tiladigan sana : 24. 11

Misol-6. Ushbu

differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasini turg’unlikka tekshiring.
Yechish. Ko’rinib turibdiki, nuqta berilgan differensial tenglamalar sistemasi uchun muvozanat nuqta bo’ladi. Bundan tashqari differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

formula bilan aniqlanadi. Ushbu munosabatlarga asosan soni uchun sonini deb tanlasak tengsizlikning bajarilishidan tengsizlikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa muvozanat nuqtaning Lyapunov ma’nosida turg’un ekanligini ko’rsatadi. Bundan tashqari ushbu
,
munosabatning bajarilishidan muvozanat nuqtaning asimptotik turg’unligi ham kelib chiqadi.
Misol-7.
differensial tenglamar sistemasining muvozanat nuqtasini turg’unlikka tekshiring.
Yechish. Avvalo berilgan differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topamiz:
, .
Endi boshlang’ich shartini qanotlantiruvchi yechimni topamiz:
, , .
Ixtiyoriy musbat soni uchun sonini deb tanlaymiz.
Bu holda

tengsizligi bajarilganda
.
bahoning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bundan muvozanat nuqtaning Lyapunov ma’nosida turg’unligi kelib chiqadi.
Quyidagi

munosabatdan muvozanat nuqtaning asimptotik turg’un emasligi kelib chiqadi
Misol-8. Ushbu

differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtasini turg’unlikka tekshiramiz.
Yechish. Ko’rinib turibdiki nuqta berilgan differensial tenglamalar sistemasi uchun muvozanat nuqta bo’ladi. Berigan differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi. Bunda
.
Agar bo’lsa, u holda ,
Bundan muvozanat nuqtaning turg’unmasligi kelib chiqadi.