Dars rejasi. Dars o‘tiladigan sana : 24. 11

Misol–3. Ushbu

Koshi masalasining yechimini turg’unlikka tekshiring.
Yechish. Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi. boshlang’ich shartdan
kelib chiqadi. Bundan foydalanib, berilgan Koshi masalasining

yechimini topamiz. Endi tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini tanlaymiz va boshlang’ich shartga mos keluvchi Koshi masalasining yechimini olamiz. Quyidagi ayirmani bajaramiz:
.
Agar soni uchun sonini deb tanlasak, u holda tengsizlikning bajarilishidan bahoning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Qaralayotgan misolda yechim Lyapunov ma’nosida turg’un bo’ladi. Bundan tashqari ushbu munosabatning bajarilishi- dan, berilgan Koshi masalasining yechimi asimptotik turg’un bo’lishi kelib chiqadi.
Misol–4. Ushbu

Koshi masalasining yechimini turg’unlikka tekshiring.
Yechish. Ko’rinib turibdiki ushbu Koshi masalasining yechimi ko’rinishida bo’ladi. Berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechim esa dan iborat bo’ladi.
Quyidagi ayirmani hisoblaylik:
.
1-hol. Agar bo’lsa, u holda

munosabat o’rinli bo’ladi. Bundan ko’rinadiki soni uchun sonini deb olsak u holda tengsizlikning bajarilishidan , bahoning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa yechimning Lyapunov ma’nosida turg’unligini ko’rsatadi.
2-hol. Agar bo’lsa, u holda

munosabatning bajarilishidan yechimning asimptotik turg’unligi kelib chiqadi.
3-hol. Agar bo’lsa, u holda bo’lgani uchun yechim turg’un. Demak holida yechim turg’un, holida turg’unmas (noturg’un) bo’ladi.
Misol-5: Ushbu
differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtalarini toping va turg’unlikka tekshiring.
Yechish. Quyidagi
tenglamalar sistemasidan nuqtaning muvozanat nuqta ekanligi kelib chiqadi. Berilgan differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lishini ko’rsatish qiyinchilik tug’dirmaydi. Bunda deb

ekanligini topamiz. Endi quyidagi ayirmalarni baholaymiz:

Ixtiyoriy soni uchun sonini deb tanlasak, u holda

tengsizlikning bajaririlishidan ,
bahoning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Demak muvozanat nuqta Lyapunov ma’nosida turg’un bo’lar ekan. Ammo muvozanat nuqta asimptotik turg’un bo’lmaydi. Chunki . Qaralayotgan misolda integral chiziqlar spirallardan iborat bo’ladi. Ularning tekislikdagi proyeksiyasi markazi nuqtada bo’lgan aylanalardan iboprat bo’ladi. Bu holda muvozanat nuqta markaz deb ataladi.