“ TASDIQLAYMAN”
“Amaliy matematika va matematika fizika “ kafedrasi mudiri: B. Babajanov
_____________ ____
DARS REJASI.
Dars o‘tiladigan sana : 24.11
Fan: Oddiy differensial tenglamalar
Guruh 201-Matematik injenering
Jami o‘quvchi: 26
Mavzu nomi: Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema.
Darsning maqsadlari:
a)ta`limiy: Talabalarda mavzu bo‘yicha ilmiy bilimlarni hosil qilish, Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasiga doir ko‘nikma yaratish.
b)tarbiyaviy: Talabalarda jamiyatdagi o‘z o‘rnilarini belgilashda hamda masuliyatli bo‘lib tarbiyalanishlarini taminlash.
c)rivojlantiruvchi: Talabalar o‘z ustida mustaqil shug‘ullanishlari uchun ko‘nikmalarni shakillantirib borish.
Dars turi:ma’ruza
Darsga ajratilgan vaqt miqdori: 80 minut
Uyga vazifa
O‘qituvchi: Eshchanova Ozoda
DARSNING TEXNOLOGIK XARITASI
№
Mashg‘ulot bosqichlari
Ajratilgan vaqt
Mashg‘ulot mazmuni
Ta’lim vositalari
1
Tashkiliy qism
5 minut
Talabalar davomadi bilan tanishish jurnal yozish
Jurnal
2
Kirish qismi
10 minut
O‘tilgan mavzuni takrorlash , uyga vazifalarni tekshirish
Darsliklar, tarqatma materiallar
3
Yangi mavzuning bayoni
45 minut
Yangi mavzu bilan talabalarni tanishtirish misol masalalarni yechishni o‘rgatish
Darsliklar, texnik vositalar, proyektr. O‘quv qo‘llanmalar.
4
Mustahkamlash
15 minut
Mavzu bo‘yicha talabalarni mustaqil shug‘ullantirish
Misol - masalalar to‘plamlari. Tarqatma materiallar.
5
Yakuniy qism
5 minut
Uyga vazifa berish. Darsni yakunlash
Misol – masalalar to‘plami.
Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema. Quyidagi
(1)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda -noma’lum vektor-funksiya, , - berilgan o‘zgarmas matritsa, - berilgan uzluksiz funksiya.
Aytaylik vektor-funksiya (1) sistemaning biror yechimi bo‘lsin. U holda (1) tenglamaga ushbu
almashtirishni qo‘llasak
munosabat hosil bo‘ladi. Shartga ko‘ra vektor-funksiya (1) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni
Shuning uchun yuqoridagi tenglikdan ushbu
(2)
bir jinsli differensial tenglama kelib chiqadi.
Agar (2) bir jinsli sistemaning chiziqli erkli yechimlari ma’lum bo‘lsa, u holda uning umumiy yechimi
ko’rinishda bo’lishi oldindan ma’lum. Bu tenglikda -ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. Demak (1) sistemaning umumiy yechimi
(3)
ko‘rinishda ifodalanar ekan.
Lemma-1. Agar va vektor –funksiyalar mos ravishda quyidagi
tenglamalarning yechimlari bo‘lsa, u holda vektor- funksiya ushbu
ko‘rinishdagi tenglamaning yechimidan iborat bo‘ladi.
Isbot .
Avvalo quyidagi xususiy holni ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik soni matritsaning biror xos qiymati bo‘lib, unga - Jordan zanziri mos kelsin.
Teorema-1. Faraz qilaylik (1) tenglamada
ko‘rinishdagi vektor-funksiya bo‘lsin. U holda (1) differensial tenglamalar sistemasining ushbu
ko‘rinishdagi yechimi mavjud va yagona. Bu yerda darajasi dan oshmaydigan berilgan ko‘phadlar, -ko‘phadlarning darajalari mos ravishda va .
Isbot. (1) differensial tenglamalar sistemasining yechimini
(4)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu (4) vektor-funksiyani (1) tenglamaga qo‘yib Jordan zanjirining ta’rifidan foydalansak
munosabat hosil bo‘ladi. Bundan va vektorlarning chiziqli erkliligidan quyidagi
(5)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar kelib chiqadi. Bu tenglamalarni pastdan yuqoriga qarab yechamiz.
Agar bo‘lsa, u holda bu differensial tenglamalarning
ko‘rinishdagi xususiy yechimlari mavjud va yagona. Bu yerda - ko‘phadlarning kamida bittasining darajasi ga teng. Topilgan larning bu ifodalarini (4) yoyilmaga qo‘yib
tasvirni olamiz.
Agar bo‘lsa, u holda (5) tenglamalarning
ko‘rinishdagi xususiy yechimlari mavjud va yagaona. Bu yerda mos ravishda darajali ko‘phadlar. Topilgan larning bu ifodalarini (4) yoyilmaga qo‘yib
ko‘rinishda bo‘lsin. Bunda -darajali vektor ko‘phad . U holda (1) differensial tenglamaning
(6)
ko‘rinishdagi yechimi mavjud. Bu yerda darajali vektor-ko‘phad bo‘lib, agar soni matritsaning xos qiymati bo‘lmasa , agar soni matritsaning karrali xos qiymatidan iborat bo‘lsa deb olinadi. Bundan tashqari ko‘phadning koeffitsentlari
o‘lchamli sonli vektorlardan iborat.
Isbot. Aytaylik matritsa karrali xos qiymatga ega bo‘lib, fazoning Jordan bazasi ta - Jordan zanjiridan iborat bo‘lsin . Ushbu vektor-ko‘phadni Jordan bazasi bo‘yicha yoyamiz:
.
Bunda ko‘phadlarning ichida kamida bittasi -darajali.
Agar
vektor-funksiya ushbu
(7)
ko‘rinishdagi differensial tenglamaning yechimi bo‘lsa, unda quyidagi
funksiya (1) sistemaning xususiy yechimi bo‘ladi.
Faraz qilaylik matritsaning xos qiymatlari bo‘lsin.
Agar bo‘lsa, u holda (7) bir jinsli bo‘lmagan sistema teorema-1 ga asosan
ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bu yerda darajasi ga teng vektor-ko‘phad.
Agar bo‘lsa, u holda (7) tenglama teorema-1 ga asosan
ko‘rinishidagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bunda darajasi ( ) ga teng vektor-ko‘phad. Qaralayotgan holda (7) tenglamalarning qolganlari
ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bu yerda darajasi ga teng bo‘lgan vektor-ko‘phad. Bu mulohazalardan va superpazitsiya prinsipidan (1) sistema (6) ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.
Izoh-1. Amaliyotda (6) ko‘rinishdagi yechimni aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalanib ham topish mumkin.
TASDIQLAYMAN”
“Amaliy matematika va matematika fizika “ kafedrasi mudiri: B. Babajanov
_____________ ____
DARS REJASI.
