Mavzu nomi: Eksponensial matritsa. Matritsaviy differensial tenglamalarni integrallash
Darsning maqsadlari:
a)ta`limiy: Talabalarda mavzu bo‘yicha ilmiy bilimlarni hosil qilish, Eksponensial matritsa. Matritsaviy differensial tenglamalarni integrallashga doir ko‘nikma yaratish.
b)tarbiyaviy: Talabalarda jamiyatdagi o‘z o‘rnilarini belgilashda hamda masuliyatli bo‘lib tarbiyalanishlarini taminlash.
c)rivojlantiruvchi: Talabalar o‘z ustida mustaqil shug‘ullanishlari uchun ko‘nikmalarni shakillantirib borish.
Mavzu bo‘yicha talabalarni mustaqil shug‘ullantirish
Misol - masalalar to‘plamlari. Tarqatma materiallar.
5
Yakuniy qism
5 minut
Uyga vazifa berish. Darsni yakunlash
Misol – masalalar to‘plami.
Eksponensial matritsa. Matritsaviy differensial tenglamalarni integrallash Faraz qilaylik, , o’lchamli kvadrat kompleks matritsa bo’lib, o’lchamli birlik matritsa bo’lsin.
Quyidagi
(1)
matritsaviy darajali qatorni qaraylik. Agar
ko’rinishda bo’lsa, u holda (1) matritsaviy darajali qatorning ixtiyoriy elementi
(2)
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda Kroneker simvoli.
Ta’rif-1. Agar (2) darajali qator ixtiyoriy va da absolyut yaqinlashuvchi bo’lsa, (1) matritsaviy darajali qator da absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
Lemma-1. Ixtiyoriy matritsa va har bir uchun (1) matritsaviy darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Shunday soni topilib, matritsaning barcha elementlar uchun
baho o’rinli bo’ladi. Agar ekanligini inobatga olsak, u holda
tengsizlik kelib chiqadi. Matematik induksiya usulini qo’llab
bahoni olish mumkin. Shuning uchun (2) darajali qatorning majarantasi ushbu
ko’rinishni oladi. Koshi alomatiga ko’ra, bu qator yaqinlashadi. Bundan (2) va (1) darajali qatorlarning har bir larda absolyut yaqinlashishi kelib chiqadi. ■
Ta’rif-2. Absolyut yaqinlashuvchi (1) darajali qatorning yig’indisiga matritsaviy eksponenta deyiladi va
(3)
ko’rinishda yoziladi.
Izoh-1. Har bir kesmada (3) qator tekis yaqinlashadi.
Ko’rinib turibdiki, agar yoki bo’lsa, u holda
munosabatlar o’rinli bo’ladi.
Lemma-2. Agar bir xil o’lchamli va matritsalar uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda
munosabat bajariladi.
Isbot. Ushbu tenglikdan va matematik induksiya usulidan foydalanib quyidagi
binom formulasining o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin. Bunпa asoslanib ushbu
formulani keltirib chiqaramiz. Yuqoridagi tenglikni keltirib chiqarishda ikki karrali qatorning absolyut yaqinlashishi inobatga olindi.
Agar bo’lsa, u holda lemma-2 dan matritsa ning teskari matritsasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. O’z navbatida ning xosmas matritsa ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Bundan tashqari (2) darajali qatorni hadlab differensiallash mumkinligidan matrirsaning barcha tartibli hosilalarini hisoblash mumkin:
Haqiqatan ham
.
Ixtiyoriy kvadrat matritsa uchun matrirsaviy eksponentani hisoblash masalasi ancha murakkab masala hisoblanadi.
Lemma-3. Agar
ko’rinishda bo’lsa, u holda
tenglik bajariladi.
Isbot. Quyidagi munosabat o’rinli:
Matematik induksiya usulini qo’llab
bo’lishini topamiz. Bundan va (3) qatordan foydalansak
kelib chiqadi. ■
Shunday qilib va matritsalar xosmas almashtirish natijasida bir xil qonun bo’yicha o’zgarar ekan.
Chiziqli algebra kursidan ma’lumki, agar matritsaning xos vektorlaridan tashkil topgan vektorlar sistemasi fazoning bazisini tashkil qilsa, u holda matritsa diagonal ko’rinishga keladi:
.
Bu yerda diagonal elementlar matritsaning xos vektorlaridan iborat bo’ladi. Bunda matritsa ustun elementlari vektorlarning fazoning bazisidagi koordinatalaridan iborat. Bu holda (3) formuladan ushbu
tenglikni topamiz va lemma-3 ga asosan
o’rinli. Haqiqatan ham, ushbu
tenglikdan va (3) qatordan foydalanib matritsani hisoblash mumkin:
Chiziqli algebra kursidan ma’lumki, ko’pchilik hollarda matritsaning xos vektorlaridan tashkil topgan vektorlar sistemasi fazoning bazisini tashkil qilavermaydi. Ammo fazoda Jordan teoremasiga ko’ra, ixtiyoriy matritsaning barcha xos qiymatlariga mos keluvchi Jordan zanjiridan tashkil topgan Jordan bazisi mavjud almashtirishning (chiziqli operatorning) иг bazisdagi matritsasini orqali belgilaymiz. Bu matritsaga ning normal Jordan formasi deyiladi. Ma’lumki, matritsaning karrali xos qiymatiga mos keluvchi Jordan katagi o’lchamli kvadrat matritsa bo’lib, u ushbu
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda Jordan katagining o’lchami. Masalan,
Faraz qilaylik, matritsaning karrali xos qiymatlariga ( ) mos keluvchi Jordan zanjiri fazoning bazisini tashkil qilsin. U holda matritsaning Jordan formasi katakli – diagonal ko’rinishga ega bo’ladi:
.
Agar bo’lsa, u holda diagonal matritsadan iborat bo’ladi. Katakli – diagonal matritsa qisqacha ushbu
ko’rinishda belgilanadi.
Agar orqali avvalgi bazisdan Jordan bazisida o’tish matritsasini belgilasak, u holda
tasvir o’rinli bo’ladi. Lemma-3 dan esa ushbu
munosabat kelib chiqadi. O’z navbatida (3) qatordan va katakli – diagonal matritsaning xossalaridan foydalanib
tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, matritsani hisoblash masalasi matritsani hisoblash masalasiga keltiriladi.
Endi , tartibli matritsani qaraylik:
.
U holda
munosabat bajariladi. Bunda o’lchamli birlik matritsa. lemma-2 dan foydalanib
munosabatni olamiz. Ushbu matritsani (1) qatordan foydalanib hisoblash mumkin. Ko’rinib turibdiki:
Chunki
Bu munosabatlardan foydalanib
tenglikni hosil qilamiz. Bundan
kelib chiqadi. Bu yerda o’lchamli kvadrat matritsalar.
Misol-1. Ushbu
matritsaning
matritsaviy eksponentasini hisoblang.
Yechish. Avvalo matritsaning xos qiymatlarini va xos vektorlarini topib olamiz. Buning uchun
tenglamani qaraymiz:
karrali xos qiymatni topamiz. Bu xos qiymatda
xos vektor mos keladi. Endi vektorga yopishgan vektorni quyidagi
tenglikdan topamiz.
.
Ushbu vektorlar fazoning Jordan bazisini tashkil qiladi. Quyidagi
xosmas matritsalarni tuzib
bo’lishini topamiz. Bundan
va
kelib chiqadi.
Yuqoridagi tushunchalardan tashqari quyidagi tasdiqning o’rinli ekanligini ham ko’rsatish mumkin.
Teorema-1.Ushbu
matritsa funksiya quyidagi
Koshi masalasining yechimidan iborat bo’ladi.
Bundan matritsa ushbu
differensial tenglamalar sistemasining fundamental matritsasidan iborat bo’lishi kelib chiqadi.
Natija-1. Ushbu
formula o’rinli. Bu yerda
matritsaning izi.
Misol-2. Agar
ko’rinishdagi matritsa bo’lsa, u holda matritsani hisoblang.
Yechish. Avvalo matritsaning xos qiymatlarini topamiz:
Endi xos qiymatga mos keluvchi xos vektorni topamiz:
,
ya’ni
xos vektorni topamiz. Xuddi shuningdek
,
ya’ni ikkinchi, ga mos keluvchi
xos vektorni topamiz.
Bu ma’lumotlardan foydalanib
Bu topilgan va yechimlardan foydalanib martitsani hisoblaymiz:
.
“ TASDIQLAYMAN”
“Amaliy matematika va matematika fizika “ kafedrasi mudiri: B. Babajanov
_____________ ____
