Dars rejasi. Dars o‘tiladigan sana : 24. 11

“ TASDIQLAYMAN”
“Amaliy matematika va matematika fizika “ kafedrasi mudiri: B. Babajanov
_____________ ____
DARS REJASI.

Dars o‘tiladigan sana : 24.11

Fan: Oddiy differensial tenglamalar

Guruh 201-Matematik injenering

Jami o‘quvchi: 26

Mavzu nomi: Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema.

Darsning maqsadlari:

a)ta`limiy: Talabalarda mavzu bo‘yicha ilmiy bilimlarni hosil qilish, Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasiga doir ko‘nikma yaratish.

b)tarbiyaviy: Talabalarda jamiyatdagi o‘z o‘rnilarini belgilashda hamda masuliyatli bo‘lib tarbiyalanishlarini taminlash.

c)rivojlantiruvchi: Talabalar o‘z ustida mustaqil shug‘ullanishlari uchun ko‘nikmalarni shakillantirib borish.

Dars turi: ma’ruza

Darsga ajratilgan vaqt miqdori: 80 minut

Uyga vazifa

O‘qituvchi: Eshchanova Ozoda

DARSNING TEXNOLOGIK XARITASI

№	Mashg‘ulot bosqichlari	Ajratilgan vaqt	Mashg‘ulot mazmuni	Ta’lim vositalari
1	Tashkiliy qism	5 minut	Talabalar davomadi bilan tanishish jurnal yozish	Jurnal
2	Kirish qismi	10 minut	O‘tilgan mavzuni takrorlash , uyga vazifalarni tekshirish	Darsliklar, tarqatma materiallar
3	Yangi mavzuning bayoni	45 minut	Yangi mavzu bilan talabalarni tanishtirish misol masalalarni yechishni o‘rgatish	Darsliklar, texnik vositalar, proyektr. O‘quv qo‘llanmalar.
4	Mustahkamlash	15 minut	Mavzu bo‘yicha talabalarni mustaqil shug‘ullantirish	Misol - masalalar to‘plamlari. Tarqatma materiallar.
5	Yakuniy qism	5 minut	Uyga vazifa berish. Darsni yakunlash	Misol – masalalar to‘plami.

Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalar sistemasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema.
Quyidagi
(1)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda -noma’lum vektor-funksiya, , - berilgan o‘zgarmas matritsa, - berilgan uzluksiz funksiya.
Aytaylik vektor-funksiya (1) sistemaning biror yechimi bo‘lsin. U holda (1) tenglamaga ushbu

almashtirishni qo‘llasak

munosabat hosil bo‘ladi. Shartga ko‘ra vektor-funksiya (1) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni

Shuning uchun yuqoridagi tenglikdan ushbu
(2)
bir jinsli differensial tenglama kelib chiqadi.
Agar (2) bir jinsli sistemaning chiziqli erkli yechimlari ma’lum bo‘lsa, u holda uning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’lishi oldindan ma’lum. Bu tenglikda -ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. Demak (1) sistemaning umumiy yechimi
(3)
ko‘rinishda ifodalanar ekan.
Lemma-1. Agar va vektor –funksiyalar mos ravishda quyidagi

tenglamalarning yechimlari bo‘lsa, u holda vektor- funksiya ushbu

ko‘rinishdagi tenglamaning yechimidan iborat bo‘ladi.
Isbot .


Avvalo quyidagi xususiy holni ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik soni matritsaning biror xos qiymati bo‘lib, unga - Jordan zanziri mos kelsin.
Teorema-1. Faraz qilaylik (1) tenglamada

ko‘rinishdagi vektor-funksiya bo‘lsin. U holda (1) differensial tenglamalar sistemasining ushbu

ko‘rinishdagi yechimi mavjud va yagona. Bu yerda darajasi dan oshmaydigan berilgan ko‘phadlar, -ko‘phadlarning darajalari mos ravishda va .
Isbot. (1) differensial tenglamalar sistemasining yechimini
(4)
ko‘rinishda izlaymiz. Bu (4) vektor-funksiyani (1) tenglamaga qo‘yib Jordan zanjirining ta’rifidan foydalansak



munosabat hosil bo‘ladi. Bundan va vektorlarning chiziqli erkliligidan quyidagi



(5)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar kelib chiqadi. Bu tenglamalarni pastdan yuqoriga qarab yechamiz.
Agar bo‘lsa, u holda bu differensial tenglamalarning

ko‘rinishdagi xususiy yechimlari mavjud va yagona. Bu yerda - ko‘phadlarning kamida bittasining darajasi ga teng. Topilgan larning bu ifodalarini (4) yoyilmaga qo‘yib

tasvirni olamiz.
Agar bo‘lsa, u holda (5) tenglamalarning

ko‘rinishdagi xususiy yechimlari mavjud va yagaona. Bu yerda mos ravishda darajali ko‘phadlar. Topilgan larning bu ifodalarini (4) yoyilmaga qo‘yib

(1) differensial tenglamaning yechimini topamiz.
Endi umuniy holni qaraymiz.
Teorema-2. Aytaylik (1) sistemada

ko‘rinishda bo‘lsin. Bunda -darajali vektor ko‘phad . U holda (1) differensial tenglamaning
(6)
ko‘rinishdagi yechimi mavjud. Bu yerda darajali vektor-ko‘phad bo‘lib, agar soni matritsaning xos qiymati bo‘lmasa , agar soni matritsaning karrali xos qiymatidan iborat bo‘lsa deb olinadi. Bundan tashqari ko‘phadning koeffitsentlari
o‘lchamli sonli vektorlardan iborat.
Isbot. Aytaylik matritsa karrali xos qiymatga ega bo‘lib, fazoning Jordan bazasi ta - Jordan zanjiridan iborat bo‘lsin . Ushbu vektor-ko‘phadni Jordan bazasi bo‘yicha yoyamiz:
.
Bunda ko‘phadlarning ichida kamida bittasi -darajali.
Agar

vektor-funksiya ushbu
(7)
ko‘rinishdagi differensial tenglamaning yechimi bo‘lsa, unda quyidagi

funksiya (1) sistemaning xususiy yechimi bo‘ladi.
Faraz qilaylik matritsaning xos qiymatlari bo‘lsin.
Agar bo‘lsa, u holda (7) bir jinsli bo‘lmagan sistema teorema-1 ga asosan
ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bu yerda darajasi ga teng vektor-ko‘phad.
Agar bo‘lsa, u holda (7) tenglama teorema-1 ga asosan

ko‘rinishidagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bunda darajasi ( ) ga teng vektor-ko‘phad. Qaralayotgan holda (7) tenglamalarning qolganlari

ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega bo‘ladi. Bu yerda darajasi ga teng bo‘lgan vektor-ko‘phad. Bu mulohazalardan va superpazitsiya prinsipidan (1) sistema (6) ko‘rinishdagi xususiy yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.
Izoh-1. Amaliyotda (6) ko‘rinishdagi yechimni aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalanib ham topish mumkin.

TASDIQLAYMAN”

“Amaliy matematika va matematika fizika “ kafedrasi mudiri: B. Babajanov
_____________ ____
DARS REJASI.