Aniqmas tenglama, tenglamalar sistemasi va tengsizlik tuzib yechiladigan masalalar

Agar :

1. 
   _{ } bo’sa, tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi.
   
2. 
   _{ } bo’lganda tenglama _{ } yagona ildizga ega bo’ladi.
   
3. 
   _{ } bo’lganda esa berilgan tenglama ikkita ildizga _{ } va _{ } ega bo’ladi. umumiy holda (bu yerda _{ }) ko’rinishida yoziladi. Ko’pchilik algebra kitoblarida yuqoridagi formuladan tashqari keltirilgan kvadrat tenglama _{ } uchun quydagi formuladan _{ } bu yerda _{ } foydalaniladi. Kvadrat tenglamani yechishni o’quvchilar 7-sinfda o’rganadilar. Keyingi sinflarda esa bu mavzuga doir har xil misol va masalar orqali uni takrorlaydi va ayrim xossalari bilan tanishadilar. _{ } (bu yerda _{ } – uchinchi yoki undan yuqori darajada bo’lgan ko’phad) korinishidagi tenglamalarni, berilgan ko’phad birinchi yoki ikkinchi darajali ko’phadga ega bo’lgan ko’paytuvchilarga ajratish bilan, yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yoki _{ } ko’rinishiga keltirish bilan yechadilar. Aytaylik _{ } ko’rinishidagi tenglamani yechish lozim bo’lsin. tenglamadagi ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratib quydagiga ega bo’lamiz :
   

Ifodaning har biri _{ } ning har qanday qiymatida ma’noga ega bo’lgani uchun berilgan tenglama _{ } yoki _{ } yoki _{ } tenglamalariga teng kuchli. Demak, berilgan tenglamaning yechimlari -1, -4, 4 sonlardan iborat.
Sakkiz yillik maktablarda yordamchi o’zgaruvchi kiritish bilan yechiladigan tenglamalarga misol qilib _{ } bikvadrat tenglamani ko’rsatish mumkin. Bu tenglamani yechishga doir aniq misol ko’raylik _{ }
Tenglamadagi _{ } orqali belgilab, _{ } ga ega bo’lamiz. Butenglamani yechib _{ } ikkita ildizga ega bo’lamiz. Demak, berilgan bikvadrat tenglama _{ } yoki _{ } larga teng kuchli bo’ladi. bu tenglamalarni yechib _{ } qiymatlarni topamiz. Bu qiymatlarni berilgan bikvadrat tenglamaning ildizlari bo’ladi. _{ } ko’rinishidagi tenglamani unga teng kuchli _{ } tenglamaga almashtirish mumkin. _{ } toq bo’lganda bu tenglamani _{ } tenglamaga teng kuchli bo’ladi. _{ } juft bo’lganda : _{ } ; _{ } hollari bo’lishi mumkin. _{ } bo’lganda, _{ } tenglama yechimga ega emas. _{ } bo’lganda _{ } tenglama birgina yechimga ega bo’adi. _{ } bo’lganda esa _{ } tenglama _{ } va _{ } ikkita ildizga ega bo’ladi. Demak, _{ } ifodalar butun bo’lganda _{ } ko’rinishidagi chiziqli yoki kvadrat tenglamaga teng kuchli bo’lgan har qanday tenglamani o’quvchilar yecha oladilar. Agar ko’rib o’tilgan tenglamalar _{ }uchinchi yoki undan katta darajali bo’lgan ko’phaddan iborat) tenglamaga teng kuchli bo’lsa, u holda bunday bunday tenglamalarni o’quvchilar maxsus ko’rinishtagilarnigina yecha oladilar. Endi _{ } va _{ } lar ratsional ifodalar, kamida bittasi kasrli bo’lgan _{ } ko’rinishidagi tenglamani yechishni ko’raylik. Uni aniq misollarda ko’ramiz.
_{ } (1)
Tenglamasi berilgan bo’lsin. Tenglamani _{ } hadini teskari ishora bilan tenglikning chap tomoniga o’tqazib nolga tenglashtiramiz.
_{ } (2)

1.