Mavzu: Eyler almashtirishlari Reja

Mavzu: Eyler almashtirishlari
Reja:
1. ko’rinishdagi integralni ratsionallashtirish .
2. Binomial differensialni integrallash.

1. ko’rinishdagi integralni ratsionallashtirish .

ko’rinishdagi integralni ratsionallashtirish uchun Eyler qo’yidagi uchta almashtirishni taklif etgan.
а) а>0 bo’lsa

almashtirishni olinadi. Ildiz oldida plyus ishorasini olib
(37.2)
tenglikka ega bo’lamiz. Tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak
ax² +bx+c= ax² +2 xt+t² , bx-2 tx=t²-c, (b-2 t) x=t²-c
va bundan kelib chiqadi. х ning qiymatini (37.2) tenglikka qo’yib
ni topamiz. х , va dx larni t orqali ifodalangan ratsional qiymatlarini berilgan integralga qo’yib uni ratsionallashtiramiz.
1-misol. integral hisoblansin.
Yechish. а=1>0 bo’lgani uchun almashtirish olamiz.
U holda x²+4=(-x+t)²=x²-2xt+t² , 2xt=t²-4,
bo’lishini hisobga olsak

b) с>0 bo’lsin. Bu holda Eyler

almashtirishni taklif etgan. Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak
ax²+bx +c=x² t² +c , ax² –t² x² = ± x-bx , (a-t²)= t-b
bo’ladi. oldida plyus ishorani olib х ni topamiz,
.
dx va larni t orqali ifodalab berilgan integralga , xdx va ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.
d) х₁ va х₂ ax² +bx+c kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lganda
=(х-х₁ )t
almashtirishni olamiz. U holda ах² +вх+с=а(х-х₁)(х-х₂) bo’lgani uchun

va bundan kelib chiqadi.
Natijada

tenglikka ega bo’lamiz. х, dx va larning t orqali qiymatlarini berilgan integralga qo’ysak ratsional funksiyaning integrali hosil bo’ladi.