Aniqmas tenglama, tenglamalar sistemasi va tengsizlik tuzib yechiladigan masalalar

ANIQMAS TENGLAMA, TENGLAMALAR SISTEMASI VA TENGSIZLIK TUZIB YECHILADIGAN MASALALAR

Reja

1. 
   Aniqmas tenglama
   
2. 
   Tenglama va tengsizliklar
   
3. 
   Tenglamalar va tengsizliklar tushunchalari yordamida borliqning o’zaro bog’lanish qonuniyatlari
   

Muayyan muammoni hal qilish haqida o'ylaganimizda, unda qanday miqdorlardan foydalanilganiga e'tibor berish kerak. Butun yoki kasr? Ijobiy yoki salbiymi? Axir, ahamiyatsiz tafsilot nafaqat ma'lum bir muammoni hal qilishda xatoni bartaraf etishga, balki echimning o'zini topishga ham yordam beradi. Keling, buni misol bilan tahlil qilaylik.

Misha (Agar saytga tashrif buyurgan Mixail bo'lsa, oldindan uzr so'rayman) besh rubl va aytaylik ,sakkiz rubllik tangalarga ega bo'lsin. Hammasi bo'lib o'ttiz to'qqiz rubl miqdorida. Besh rubldan qancha tanga va Mishaning sakkiztasi bor.
Ma'lumotlar etarli emasga o'xshaydi, masalan, agar siz x orqali 5 rubllik tangalar sonini, y uchun esa 8 rubllik tangalarni belgilasangiz, unda muammoning o'zi bitta tenglamani yozishga imkon beradi:

Noma'lumlar soni tenglamalar sonidan oshib ketadigan bu va boshqa tenglamalar va ularning tizimlari deyiladi noaniq.
Shartdan ko'rinib turibdiki, tangalar sonini butun yoki salbiy sonlar bilan o'lchash mumkin emas. Shunday qilib, agar x manfiy bo'lmagan butun son bo'lsa, u holda va:

salbiy bo'lmagan va butun bo'lishi kerak. Shunday qilib, 39 - 5X ifodasini qoldiqsiz 8 ga bo'lish kerak. Tanlov yordamida siz buni x \ u003d 3 bilan amalga oshirish mumkinligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Shuning uchun, y = 3.
Katta raqamlar bilan ishlashda variantlarni saralash qulay emas. Qadimgi hind matematiklari ixtiro qilgan tarqalish usuli yoki tushish usulidan foydalanish yaxshiroqdir. Tushish usuli quyida muhokama qilinadi.
Shaklning noaniq tenglamasini ko'rib chiqishni davom ettiramiz:

bu erda a, b, c ma'lum bo'lgan butun koeffitsientlardir.
Keling, bularning barchasini tanish misol bilan tahlil qilaylik:

Biz eng kichik koeffitsientga ega bo'lgan noma'lumni tanlaymiz va uni boshqa noma'lum orqali ifodalaymiz:

Endi butun qismini tanlang:

Agar butun son (4 — 3y)/5 qiymatiga ega bo'lsa, butun son butun son bo'ladi. Bu raqam (4 — 3y) qoldiqsiz 5 ga bo'linganida mumkin. Qo'shimcha tamsayı o'zgaruvchisini kiritish z, biz oxirgi shartni quyidagicha yozamiz

Biz asl tenglama bilan bir xil turdagi tenglamaga keldik, lekin allaqachon kichikroq koeffitsientlar bilan. Endi uni y va z o'zgaruvchilariga nisbatan hal qilish kerak.
Biz hamma narsani bir xil printsip asosida davom ettirmoqdamiz:

Y tamsayı bo'lishi uchun 1 - 2z raqami qoldiqsiz 3 ga bo'linishi kerak: 1 - 2z \ u003d 3U (faqat butun qiymatlarni oladigan qo'shimcha u o'zgaruvchisi qayta kiritildi). Bu erdan, allaqachon ishlab chiqilgan sxema bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

Davom etamiz... Agar qoldiqsiz 1 - u raqami 2: 1 - u = 2v ga bo'linsa, z raqami butun son bo'ladi, bu erda v ixtiyoriy butun son. Shuning uchun u \ u003d 1 - 2v. endi kasrlar yo'q, tushish tugadi.
Endi xavfsiz tarzda "yuqoriga ko'tarilish"qoldi. O'zgaruvchi orqali ifodalaymiz v avval z, keyin y va nihoyat x:



X \ u003d 3 + 8v, y \ u003d 3 - 5v formulalari asl tenglamaning umumiy echimini butun sonlarda ifodalaydi. Va agar biz faqat manfiy bo'lmagan tamsayılar bilan qiziqsak, unda barcha butun echimlar orasida siz quyidagilarni tanlashingiz kerak


va shuning uchun,

Birgalikda bu tengsizliklar faqat v \ u003d 0 da bajarilishi mumkin. Bunday holda, x = 3, y = 3. Ya'ni, Mishada 3 5 rubl tanga va 3 8 rubl tanga bor edi.
Umuman olganda, shakl tenglamasining butun echimlari

har doim ham bo'lmasligi mumkin. Bundan tashqari, agar A va b GCD (eng katta umumiy bo'luvchi) c ga bo'linsa, u holda va shundagina tenglama butun sonlarda echiladi.
Tenglama va tengsizliklar, ularga bog’liq bo’lgan materiallar o’rta maktab matematika kursining katta qismini o’z ichiga oladi. CHunki, tenglama va tengsizliklar matematikaning turli bo’limlarini o’rganishda amaliy mazmundagi masalalarni hal etishda keng qo’llaniladi.
Ma’lumki, qadimgi misrliklar va vavilonliklar matematik xarakterdagi masalalarni yechishda sonli hisoblash usuliga asoslangan edilar. Ammo, kundalik hayotda ham, matematikani o’rganishda ham shunday masalalar uchraydiki, ularni tenglama yoki tengsizliklar sistemasi yordamidagina hal etish mumkin. Dastlabki vaqtlarda bunday masalalarni yechishda arifmetik metodlardan foydalanilgan. Keyinroq esa algebraik tasavvurlar shakllana boshlangan. Masalan. vaveloniyalik hisobchilar ikkinchi darajali tenglamalarni yecha bilganlar. Hunday qilib, matinli masalarni yechish metodi hosil qilinib, u keyinchalik algebraik komponentlarni ajratishda va uning no’malumini o’rganishda qo’llaniladi. Bunday tadbiqlar boshqa davrlarda oldin arab matematiklari ayrim amallar (o’xshash tenglikning hadlarini xchamlash, tenglamani, hadini bir tomondan ikkinchi tomonga teskari ishora bilan utkazish) yordami bilan tenglamalarni standart ko’rinishga keltirganlar. So’ngra esa bu ish Yevropa matematiklari tomonidan amalga oshirilgan. Ko’p izlanishlar natijasida hozirgi zamon algebrasining tili (xarflardan foydalanish arefmetik amal belgilari, qavslar va h.k) yuzaga keldi.
XVI-XVII asrlarda algebra matematikaning maxsus bir qismi sifatida o’zining predmeti metodi, qo’lanilish sohasiga ega bo’ldi. Kelgusidagi taraqiyoti esa uning metodining mukamallashuvi, qo’llanilish sohasining kengayishi, tushunchalarini aniqlash va matematikaning boshqa sohalari tushunchalari bilan bog’lanishi ustida bordi. SHu davr ichida algebraik tushuunchalar ichida tenglama tushunchasining muhimligi yaqqolroq sezila borildi. Koordinatalar metodining (Dekart XVIII asr) yaratilishi, analitik geometriyaning rivojlanishi algebrada faqat sonlar sistemasiga bog’liq bolgan masalardan tashqari, turli xil geometrik figuralarning xossalarini o’rgaanishiga ham imkon yaratdi.