Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar

1. 
   

Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar.

Agar λ =0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda (1) , (2) masalaning yechimi M_L sohada yagona va quydagi formuladan

topiladi , bu yerda -(1) ,(2) masalaning Grin funksiyasi.
Ta’rif :
(1)
(2)
masalaning Grin funksiyasi deb shunday funksiyaga aytiladiki , u funksiya sohada aniqlangan bo’lib ,[a,b] oraliqda olingan har bir ξ uchun x ning funksiyasi sifatida quydagi shartlarni qanoatlantirsa :

1. 
   x-ning funksiyasi sifatida funksiya quydagi
   

(3)
tenglamani qanoatlantiradi;
2) funksiya x=a va x=b bo’lganda (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
3) x=ξ bo’lganda [a, ξ] va [ξ,b] oraliqda x bo’yicha funksiya uzluksiz , lekin birinchi tartibli hosilasi x=ξ nuqtada chekli uzulishga ega , ya’ni :
(4)
Agar (1),(2) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa , u holda bu masala uchun yagona Grin funksiya mavjud va quydagi ko’rinishda
(5)
Izlanadi , bu yerda y₁(x) va y₂(x) funksiyalar L(y)=0 tenglamaning noldan farqli yechimlari bo’lib , mos ravishda (2) ning shartlarni qanoatlantiradi.
(5) funksiya (4) shartlarni qanoatlantirishi uchun φ(ξ) va ψ(ξ) funksiyalarni shunday tanlash kerakki , quydagi sistema
(6)
yechimga ega bo’lsin .

6. 
   ko’ra (5) ni quydagi ko’rinishda ifodalaymiz :
   

(7)
bu yerda
(8)
(9)
ω(x) -Vronskiy determinanti .

Agar λ=0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda Ly=λy+f(x) tenglama uchun quyilgan (2) chegaraviy masalaning yechimi quydagi integral tenglamaga

(10)
teng kuchlidir , bu yerda
1-misol Quyidagi
(11)
(12)
Masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping .
Yechish. tenglamaning umumiy yechimi dan iborat .Bunga ko’ra y₁(x)=x va y₂(x)=x-1 funksiyalar mos ravishda y(0)=0 va y(1)=0 shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning yechimlari bo’ladi . (1) va (11) ga asosan p(x)=1 teng .(9) ko’ra esa ga teng . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda
(13)
bo’ladi.
(*) , (13) formulaga ko’ra (11) , (12) masalaning yechimi quydagi formuladan
(14)
topiladi.
2-misol. Quyidagi
(15)
(16)
Shturm –Liuvill masalasiga teng kuchli integral tenglamani toping .
Yechish. tenglamaning noldan farqli (16) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari
(17)
funksiyalardan iborat . (1) va (15) tenglamalarga asosan
(9) ga ko’ra esa

ga ega . Demak, Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda
(18)
bo’ladi .
(10) va (18) formulalarga asosan (15) (16) masalaning yechimi quyidagi integral tenglamaga

teng kuchli bo’ladi, bu yerda -funksiya (18) formula orqali aniqlanadi.
3-misol. Quyidagi


(19)
(20)
masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping.
Yechish. tenglamaning noldan farqli (20) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari
va (21)
funksiyalardan iborat .(1) va (19) tenglamalarga asosan . (9) ko’ra esa ga ega . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (19), (20) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda
bo’ladi. (22)
(*) , (22) formulalarga asosan (19) va (20) masalaning yechimi quyidagi formuladan topiladi :

Мисол 1.

2.











2.
Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.

Misol -2

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.