Analitikalıq geometriya

4.Parabola hám onıń teńlemesin izertlew. Parabola dep hár biri berilgen fokus dep atalatuǵın noqattan hám berilgen direktrisa dep atalatuǵın tuwrıdan birdey qashıqlıqta jaylasqan noqatlardıń geometriyalıq ornına aytıladı.

Parabolanıń teńlemesin keltirip shıǵarıw ushın tegislikte koordinatalar sistemasın tómendegishe tańlaydı. kósheri retinde fokustan ótip direktrisaǵa perpendikulyar bolatuǵın tuwrı alınadı. Bul tuwrıda oń baǵıt retinde direktrisadan fokus tárepke qarata baǵıt alınadı, koordinata bası retinde direktrisa hám fokus aralıǵındaǵı kesindini teń ekige bóletuǵın noqatı qabıl etiledi. Bul kesindiniń uzınlıǵın ádette háribi menen begilenedi hám usı parabolanıń parametri dep ataladı. Onda fokus dep atırǵan noqatınıń koordinatası hám kósheri menen direktrisanıń kesilisiw noqatı koordinatası boladı. Meyli parabolaǵa tiyisli qálegen noqat bolsın. Bul noqattı dáslep tuwrı arqalı parabolanıń fokusı menen tutastıramız keyin onnan direktrisaǵa perpendikulyarın túsiremiz. noqatın parabolanıń fokusı menen tutastırıwshı kesindi uzınlıǵına noqatınıń fokal radiusı dep ataladı hám háribi menen belgilenedi, yaǵnıy . Parabola anıqlamasına sáykes . Onda eki noqat arasındaǵı qashıqlıqtı tabıw formulasınan

bolǵanı ushın teńliginen

=

teńlemesine iye bolamız. Bul teńlemeni parabolaǵa tiyisli hárbir noqattıń koordinataları qanaatlandıradı. Endi bul teńlemeni ápiwayılastırıw maqsetinde teńliktiń eki tárepin kvadratqa kóterip, qawsırmalardı ashqannan soń,

yamasa

teńlemesi kelip shıǵadı. Usı teńleme parabolanıń kanonikalıq teńlemesi dep ataladı. hám teńliklerinen , yaǵnıy túrindegi noqatınıń abscissası menen parabolanıń fokal radiusı arasındaǵı baylanıs formulasına iye bolamız.

4 .1. Parabola teńlemesin izertlew. Parabolanıń formasın anıqlaw maqsetinde teńlemesin ke qarata sheship, túrinde jazamız. Parabolanıń kanonikalıq teńlemesinde teris mánis qabıllay almaydı hám bolsa boladı. Demek, noqatı parabolaǵa tiyisli. Hárbir mánisine absolyut shamaları birdey, biraq tańbaları qarama-qarsı bolǵan tiń eki mánisi sáykes keledi. Bunnan parabola koordinata basınıń oń tárepinde jaylasqan hám abscissalar kósherine baylanıslı simmetriyalı iymek bolıwın kóremiz(43-súwret). Sonıń menen birge teńlemesinen t ıń ósiwi menen birge te ósedi, sheksizlikke umtılǵanda te sheksizlikke umtıladı.

Kanonikalıq teńlemesi menen berilgen parabola ushın abscissalar kósheri simmetriya kósheri boladı. Parabolanıń simmetriya kósheri menen kesilisiw noqatı parabolanıń tóbesi dep ataladı. Berilgen jaǵdayda parabola tóbesi koordinata basında jatadı. Parabola bir tóbe, giperbolada eki tóbe, ellipste tórt tóbe bar ekenligin atap ótemiz.

Endi parabolanıń simmetriya kósherine perpendikulyar, ultanı parabolanıń fokusında bolǵan fokal radiusın júrgizemiz. noqatınıń abscissası boladı. Onda fokal radiusınıń uzınlıǵı , yaǵnıy boladı. Bunnan parametriniń san mánisi parabolanıń simmetriya kósherine perpendikulyar bolǵan fokal radiustıń uzınlıǵına teń bolıwın kóremiz. Usıǵan baylanıslı sanı fokallıq parametr dep te ataladı.

, parabolası ordinatalar kósheriniń oń tárepinde iymek sızıq boladı. , teńlemesi menen anıqlanǵan iymek te parabola boladı. Bul parabolanıń tóbesi koordinata basında, simmetriya kósheri abscissalar kósheri boladı hám onıń hárbir noqatı ordinatalar kósheriniń shep tárepinde jatadı (44-súwret, a). Usıǵan uqsas , teńlemesi parabolanıń teńlemesi boladı. Bul parabolanıń tóbesi koordinata basında jaylasqan, ordinatalar kósheri simmetriya kósheri boladı hám barlıq noqatları abscissalar kósherinen joqarıda jatadı (44-súwret, b). , teńlemesi de tóbesi koordinata basında jaylasqan, ordinatalar kósheri simmetriya kósheri bolǵan hám barlıq noqatları abscissalar kósherinen tómende jatatuǵın parabolanıń teńlemesi boladı (44-súwret, c) Parabolanıń qálegen noqatınan onıń fokusına shekemgi qashıqlıqtıń usı noqattan parabolanıń direktrisasına shekemgi qashıqlıqqa qatnası turaqlı hám birge teń (parabola anıqlaması). Sonlıqtan bul turaqlı qatnastı, ellips hám giperbolaǵa uqsas, parabolanıń ekscentrisiteti dep ataydı hám háribi menen belgileydi. Demek parabola ushın boladı.