Analitikalıq geometriya

2.Ellips hám onıń teńlemesin izertlew. Ellips dep berilgen eki fokuslar dep atalatuǵın noqatlardıń hárbirine shekemgi qashıqlıqlarınıń qosındısı turaqlı shama bolatuǵın noqatlardıń geometriyalıq ornına aytıladı.

Bul anıqlamada turaqlı shama fokuslar arasındaǵı qashıqlıqtan úlken, keri jaǵdayda qoyılǵan talaplarǵa juwap beretuǵın noqatlar bar bolmaydı yamasa bunday noqatlar shetki noqatları fokuslar bolǵan kesindige tiyisli noqatlar boladı.

Ellipstıń teńlemesin keltirip shıǵarıw ushın tegislikte koordinatalar sisteması sonday tańlap alınadı, nátiyjede hám noqatları abstsissalar kósherine tiyisli hám koordinata basına baylanıslı simmetriyalı jaylasadı. Yaǵnıy koordinata bası fokuslar arasındaǵı qashıqlıqtı teń ekige bóledi. Fokuslar arasındaǵı qashıqlıq túrinde belgilenedi, yaǵnıy . Onda h ám noqatlarınıń koordinataları sáykes hám túrinde jazıladı.

Meyli ellipske tiyisli qálegen noqat bolsın (37-súwret). Bul noqattı hám fokuslar menen tutastırıp, payda bolǵan hám kesindileriniń uzınlıqların sáykes hám arqalı belgileymiz, yaǵnıy hám . Bul hám sanları ellipske tiyisli noqatınıń fokal radiusları dep ataladı. Ellipstıń anıqlamasınan onıń hárbir noqatınıń fokal radiusları qosındısı turaqlı shamaǵa teń boladı. Usı turaqlı shamanı arqalı belgileymiz. Onda teńsizligi orınlı bolıwın kóriw qıyın emes. Ellips noqatlardıń geometriyalıq ornı sıpatında anıqlanǵanlıǵı ushın onıń anıqlaması tiykarında ellipske tiyisli hárbir noqat ushın

12\* MERGEFORMAT ()

teńligi orınlı bolıwı shárt.

hám bolǵanı ushın eki noqat arasındaǵı qashıqlıqtı tabıw formulasınan paydalanıp (1) teńlikti

34\* MERGEFORMAT ()

teńlemesi túrinde jazamız. (2) teńleme ellipstiń teńlemesi, biraq bul alınǵan túrde teńlemeni paydalanıw qolaysız bolǵanı ushın ellipstiń teńlemesin basqa formada beredi. Onıń ushın (2) teńlemede ekinshi radikaldı teńliktiń oń tárepine shıǵarıp, teńliktiń eki tárepin kvadratqa kóteremiz, sonda

yamasa

boladı. Bunnan bolǵanı ushın taǵı bir márte kvadratqa kóterip, natiyjeni q a kóbeytsek, yamasa teńligine iye bolamız. Bunda sebebi . belgilewin kiritip, keyingi teńlikti túrinde jazǵannan soń eki tárepin qa bólsek, teńligi payda boladı.

M eyli hám qálegen haqıyqıy sanlar bolsın.

56\* MERGEFORMAT ()

teńlemesin qarastıramız. Joqarıda keltirilgen dálillewden (2) teńlemeni qanaatlandıratuǵın hárbir , juplıǵı (3) teńlemeni de qanaatlandıradı. Kerisinshe (3) teńlemeni qanaatlandıratuǵın hárbir , juplıǵı (2) teńlemeni de qanaatlandıratuǵınlıǵın kórsetiw múmkin. Onıń ushın joqarıda keltirilgen túrlendiriwlerdi keri tártipte orınlaw jeterli boladı. Demek, (3) teńlemeni ellipske tiyisli noqatlardıń koordinataları qanaatlandıradı, yaǵnıy (3) teńleme ellips teńlemesi boladı. (3) teñlemeni ellipstiń kanonikalıq teńlemesi dep ataydı.