Analitikalıq geometriya

3.Giperbola hám onıń teńlemesin izertlew. Giperbola dep fokuslar dep atalatuǵın eki hám noqatlardan hár biriniń ara qashıqlıǵınıń ayırması turaqlı shama bolatuǵın noqatlardıń geometriyalıq ornına aytamız.

Giperbolanıń teńlemesin keltirip shıǵarıw ushın , fokusları abscissalar kósherine tiyisli hám koordinata bası kesindisin teń ekige bóletuǵınday etip tuwrımúyeshli dekart koordinatalar sistemasın kiritemiz. kesindisiniń uzınlıǵın arqalı belgileymiz, yaǵnıy Sonda hám noqatlarınıń koordinataları sáykes hám juplıqları boladı (39-súwret).

Endi giperbolaǵa tiyisli bazıbir noqatın alıp kesindilerin ótkeremiz. Bul kesindilerdiń uzınlıqları sáykes arqalı belgilenedi, yaǵnıy . Bul hám sanları noqatınıń fokal radiusları dep ataladı. Fokal radiuslardıń ayırmasın arqalı belgileydi. Sonda úshmúyeshlikler teńsizligi tiykarında yamasa teńsizligi orınlı boladı.

Giperbolanıń noqatlarınıń geometriyalıq ornı sıpatındaǵı anıqlaması tiykarında onıń hárbir noqatı ushın

12\* MERGEFORMAT (4)

teńligi orınlı bolıwı shárt. bolǵanı ushın eki noqat arasındaǵı qashıqlıqtı esaplaw formulasınan paydalanıp, , bolıwın kóremiz. Bul formulalardıń oń táreplerin (1) formuladaǵı sáykes orınlarına qoyıp

1314\* MERGEFORMAT ()

teńlemesine iye bolamız. (8)-teńleme giperbolanıń teńlemesi dep ataladı. Bul teńlemedegi ekinshi radikaldı teńlik belgisiniń oń tárepine shıǵarıp, teńliktiń eki tárepin kvadratqa kótersek, teńligine, yaǵnıy teńligi kelip shıǵadı. Bunnan

1516\* MERGEFORMAT ()

boladı. (9)-teńlikti kvadratqa kóterip radikaldan qutılsaq, , yaǵnıy teńligi payda boladı. Giperbolada bolǵanı ushın boladı. Onda belgilewin kiritip, keyingi teńlikti túrinde jazıp, natiyjeni bólgennen soń

1718\* MERGEFORMAT ()

t eńlemesine iye bolamız. Bul teńlemeni giperbolaǵa tiyisli bolǵan hárbir noqattıń koordinataları qanaatlandıradı, al giperbolaǵa tiyisli bolmaǵan noqatlardıń koordinataları qanaatlandırmaydı. Demek, (10)-teńleme giperbolanıń teńlemesi boladı. (10)-teńleme giperbolanıń kanonikalıq teńlemesi dep ataladı.

3.1. Giperbolanıń teńlemesin izertlew. Giperbolanıń kanonikalıq teńlemesinen paydalanıp onıń formasın úyrenemiz. Giperbolanıń hárbir noqatınıń koordinataları (10) teńlemege tek jup dárejede qatnasqan. Sonlıqtan bazıbir noqatı giperbolaǵa tiyisli bolsa, onda , noqatları da giperbolaǵa tiyisli, yaǵnıy giperbola koordinata kósherlerine hám koordinata basına baylanıslı simmetriyalı iymek sızıq boladı. Bul giperbolanıń formasın úyreniwdi birinshi sherekte orınlap, nátiyjede alınǵan iymekti aynalıq sáwlelendiriw járdeminde basqa shereklerge ótkeriwge múmkinshilik jaratadı. Giperbola kanonikalıq teńlemesi menen berilgende koordinata kósherleri onıń simmetriya kósherleri, al koordinata bası giperbolanıń simmetriya orayı boladı. Giperbola kósherleriniń kesilisiw noqatı giperbolanıń orayı dep ataladı. Yaǵnıy giperbola oraylıq iymek sızıq boladı.

Abscissalar kósherinde hám , ordinatalar kósherinde hám noqatların quramız. Sonda payda bolǵan hám kesindileri ushın hám teńlikleri orınlanadı. Endi n oqatlarınan koordinata kósherlerine parallel tuwrılar ótkeremiz. Usı tuwrılardıń kesilisiw noqatları tóbeleri bolatuǵın tuwrımúyeshlik giperbolanıń tiykarǵı tuwrımúyeshligi dep ataladı (40-súwret). Cirkul adımın kesindisi uzınlıǵına teńlestirip, iynesin koordinata basına jaylastırıp cirkul qálemi menen kósherinen eki noqat belgileymiz. Usı noqatlar giperbolanıń fokusları boladı. Haqıyqatında da úshmúyeshliginen . Onda teńliklerin esapqa alıp, , yaǵnıy . Endi giperbolanıń kanonikalıq teńlemesinen ti tapsaq, boladı. Bunda izertlew birinshi sherekte ótkerilip atırǵanlıǵı ushın radikal aldında plyus tańbası alınadı hám argumenttiń mánisleri qarastırıladı, yaǵnıy hám .

1) mánislerinde jorıma mánis qabıllaydı, yaǵnıy giperbolada abscissa kesindisine tiyisli bolatuǵın noqatlar joq.

2) bolsa boladı, yaǵnıy noqatı giperbolaǵa tiyisli .

3) bolsa boladı hám t ıń mánisi óskende t e ósip baradı hám da , yaǵnıy sheksiz óskende giperbolanıń tarmaǵı sheksizlikke ketedi. Bunnan giperbola óz-ara perpendikulyar simmetriya kósherlerine iye eki sheksizlikke ketetuǵın tarmaqlardan ibarat hám hesh bir noqatı tiykarǵı tuwrı muyeshlikke tiyisli bolmaytuǵın sızıq. Oń tárep tarmaq ushın shep tárep tarmaq ushın boladı.

Uzınlıǵı bolǵan kesindisi giperbolanıń haqıyqıy kósheri, uzınlıǵı bolǵan kesindisi giperbolanıń haqıyqıy yarım kósheri, uzınlıǵı bolǵan kesindisi giperbolanıń jorıma kósheri, uzınlıǵı bolǵan kesindisi giperbolanıń jorıma yarım kósheri dep ataladı. hám noqatları arasındaǵı qashıqlıq giperbolanıń fokuslar aralıǵı dep, giperbola menen onıń haqıyqıy kosheri kesilisetuǵın noqatları giperbolanıń tóbeleri dep ataladı.

3 .2. Giperbolanıń asimptotaları. kanonikalıq teńlemesi menen berilgen giperbola alıp oǵań tiykarǵı tuwrımúyeshligin jasaymız. Usı tuwrımúyeshliktiń diagonalları, yaǵnıy tuwrı sızıqları giperbolanıń asimptotaları dep ataladı (41-súwret). Meyli birinshi sherekten alınǵan giperbolaǵa tiyisli bazıbir noqat bolsın. Usı noqattan giperbolanıń asimptotasına shekemgi qashıqlıq qa baylanıslı birinshi sherekte qalay ózgeriwin tekseremiz. Usı maqsette abscissası hám ordinatası bolǵan noqattı qarastıramız. Onda 1-sherekte bolǵanı ushın boladı, sebebi , yaǵnıy abscissası birdey bolǵanda giperbolaǵa tiyisli noqat sáykes asimptotaǵa tiyisli noqattıń astında jaylasqan.

Onda teńligi tıń ósiwi menen kesindisiniń uzınlıǵı kishireyip, sheksiz úlkeygende nolge umtılatuǵınlıǵın kórsetedi. Eger arqalı giperboladan asimptotaǵa shekemgi qashıqlıqtı belgilesek, onda teńsizligi orınlı bolǵanı ushın da nolge umtılıwın kóremiz. Usıǵan uqsas natiyjelerdi hárbir sherekte alıw múmkin.

Ulıwma jaǵdayda tuwrısına iymeginiń asimptotası delinedi, eger bul iymektiń noqatınan tuwrısına shekemgi qashıqlıq noqat koordinata basınan alıslaǵan sayın nolge jaqınlasatuǵın bolsa.

Usı anıqlamaǵa sáykes tuwrıları giperbolası ushın asimptotalar boladı hám bunday giperbolanı qurıw ushın dáslep tiykarǵı tuwrımúyeshlik qurıladı keyin giperbolanıń asimptotaları ótkeriledi. Nátiyje giperbolanı anıqraq etip sızıwǵa múmkinshilik jaratadı.