Amaliy matematika fakulteti

Kramer teoremasi Bizga determinantlar nazariyasidan Kramer formulalari ma’lum. Bu formulalarni mohiyatini ochib beruvchi Kramer teoremasi bilan tanishaylik.
2.1-teorema (Kramer teoremasi). Agar A maxsusmas matrisa (ya’ni 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = bo`lsa, u holda (2.1) sistema yagona yechimga ega bo`ladi. Shu bilan birga yechimlar quyidagi formulalar (Kramer formulalari) orqali topiladi:





bunda

Isbot. Shartga asosan 𝑑𝑒𝑡 𝐴 . Shuning uchun A matrisaga teskari 𝐴⁻¹ matrisa mavjud. (2.2) tenglamaning har ikki tomonini A matrisaga ko`paytirsak, quyidagiga ega bo`lamiz:

Bu formula (2.2) tenglamaning yechimini ifodalaydi. Haqiqatan ham, tekshirish buni tasdiqlaydi:

Shunday qilib, biz yechimning mavjudligini isbot qildik.
Endi yechimning yagona ekanligini isbot qilamiz. Faraz qilaylik, (2.2) ning
dan farqli 𝑎⃗ yechimi (ya’ni 𝑎⃗ ) ham mavjud bo`lsin, ya’ni bu 𝑎⃗ vektor uchun quyidagi
𝐴𝑎⃗ = 𝑏⃗
tenglik o`rinli bo`lsin. Bu tenglikning har ikki tomonini chapdan 𝐴<sup>−1</sup> matrisaga ko`paytirib topamiz: bir tomondan, 𝐴(𝐴⁻¹𝑎⃗) = 𝐴⁻¹𝑏⃗ = 𝑥⃗; ikkinchi tomondan,
𝐴(𝐴⁻¹𝑎⃗) = (𝐴⁻¹𝐴)𝑎⃗ = 𝐸𝑎⃗ = 𝑎⃗.
Shuning uchun 𝑎⃗ = 𝑥⃗. Bundan yechimning yagonaligi kelib chiqadi.
Endi (2.5) Kramer formulalarini keltirib chiqaraylik. Ma’lumki,

B
undan foydalansak, 𝑥⃗ = 𝐴⁻¹𝑏⃗ yechimning ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:

S
hunday qilib,

Bundan (2.3) formulalar kelib chiqadi. Shu bilan teorema isbot bo`ldi.

Misol. Ushbu bir jinslimas sistema yechilsin:

Yechish. 1) sistemani matrisa ko`rinishda yozaylik:
2) berilgan sistemaning matrisasi A ning determinantini hisoblaymiz:

Demak, A matrisa uchun 𝐴^-1 matrisa mavjud;

3)berilgan A matrisa elementlarining algebraik to`ldiruvchilarini hisoblab, teskari matrisani topamiz:

4)(2.5) formulaga asosan yechimni topamiz:

ya’ni 𝑥 .