Amaliy matematika fakulteti

3.Laplas teoremasi. Kramer formulasi

Laplas teoremasi. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satr (ustun) elementlari bilan, shu elementlarga mos algebraik toʻldiruvchilar koʻpaytmalari yigʻindisiga teng, ya’ni: Bu formulaga  determinantni i satr elementlari boʻyicha yoyish formulasi deyiladi.

Determinantning biror satr (ustun) elementlari bilan uning boshqa satri (ustuni) elementlari algebraik toʻldiruvchilari koʻpaytmalarining yigʻindisi nolga teng.
Misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:
Yechish. Berilgan determinantni birinchi satr elementlari boʻyicha
yoysak

Misol. Quyidagi determinantni Laplas formulasi bilan hisoblang:

Yechish. Berilgan determinantni ikkinchi ustun elementlari boʻyicha yoyib chiqamiz. Bu ustunda 2 ta noldan farqli element boʻlgani uchun natijada 2 ta 3-tartibli determinant hosil boʻladi.
Yoki avval a₃₂ = 2 elementni nolga keltirishimiz mumkin. Buning uchun 2-satrni 2 ga koʻpaytirib 3-satrga qoʻshamiz va hosil boʻlgan determinantni 2-ustun elementlariga nisbatan yoyamiz va hisoblaymiz:
Koʻrinib turibdiki, Laplas teoremasidan yuqorida keltirilgan xossalar bilan birgalikda foydalanish determinantni hisoblashni ancha osonlashtiradi. Buning uchun biror satr yoki ustunni tanlab olib, shu ustun yoki satrdagi elementlarni determinantning xossalaridan foydalanib iloji boricha nollarga keltirishimiz kerak boʻladi. Soʻngra, Laplas teoremasi yordamida determinantning tartibini bittaga kamaytirishimiz mumkin.