Amaliy matematika fakulteti

4°. Determinantlarni ko`paytirish. 1- teoremaning tasdig`idan determinantlarni ko`paytirish uchun quyidagi ta’rif kelib chiqadi.
5-ta’rif. n- tartibli
determinantlar berilgan bo`lsin. ∆₁ va ∆₂ determinantlarning ko`paytmasi
deb, elementlari
(i, j =1, 2, …, n) formulalar bilan aniqlanadigan ushbu determinantga aytiladi:

Determinantlarni ko`paytirish kommutativlik xossasiga bo`ysunadi, ya’ni ko`paytma ko`paytuvchilarning o`rnini almashtirishga bog`liq emas.
5°. Transponirlangan matrisa. Berilgan m× 𝑛 tartibli

matrisadan catr va ustunlarning o`rinlarini almashtirishdan xosil bo`ladigan matrisani A ga nisbatan transponirlangan matrisa deyiladi va uni A* yoki A' deb belgilanadi. Shunday qilib,

Bu ta’rifdan ko`rinadyki, agar A matrisa 𝑚 × 𝑛 o`lchamli bo`lsa, u holda A* matrisa 𝑛 × 𝑚 o`lchamli matrisa bo`ladi. Agar A kvadrat matrisa bo`lsa, A* ham kvadrat matrisa bo`ladi, bu holda A va A* ning tartiblari o`zaro teng bo`ladi.
Transponirlangan matrisa uchun quyidagi xossalarning to`g`riligini tekshirish qiyin emas:

1. 
   Ikki marta transponirlangan matrisa dastlabki matrisaning o`ziga teng, ya’ni A** = (A*)* = A.
   
2. 
   Transponirlangan ko`paytma matritsa transponirlangan ikkinchi matrisaning transponirlangan birinchi matrisaga ko`paytmasiga teng, ya’ni (AB)* = B*A*.
   

Agar A kvadrat matrisa bo`lsa, u holda
detA* = detA
tenglik o`rinli.
Agar 𝐴 = (𝑎_𝑖𝑗) matrisa o`zining transponirlangan A* matrisasiga teng, ya’ni A* = A bo`lsa, u holda A matrisani simmetrik matrisa deyiladi. Agar matrisa simmetrik bo`lsa, bundan uning kvadrat matrisa ekani kelib chiqadi.
Simmetrik matrisaning bosh diagonalga nisbatan simmetrik bo`lgan elementlari o`zaro teng (ya’ni 𝑎<sub>𝑖𝑗</sub> = 𝑎<sub>𝑗𝑖</sub>) bo`ladi.
Berilgan matrisaning transponirlangan A* matrisasiga ko`paytmasi 𝐶 = 𝐴𝐴<sup>∗</sup> simmetrik matrisa bo`ladi. Haqiqatan ham,
𝐶^∗ = (𝐴𝐴^∗)^∗ = (𝐴^∗)^∗𝐴^∗ = 𝐴𝐴^∗ = 𝐶.
Agar matrisaning bosh diagonaliga nisbatan simmetrik joylashgan elementlari absolyut qiymat bo`yicha o`zaro teng va ishorasi bo`yicha esa qarama-qarshi (ya’ni 𝑎<sub>𝑖𝑗</sub> = −𝑎<sub>𝑗𝑖</sub>) hamda bosh diagonalida joylashgan elementlari nolga teng (ya’ni 𝑎<sub>𝑖𝑖</sub> = 0) bo`lsa, u holda berilgan matrisani antisimmetrik (qiya simmetrik) matrisa deyiladi.
Quyidagi teorema o`rinli.
2- teorema. Ixtiyoriy n- tartibli A kvadrat matrisani n- tartibli simmetrik va antisimmetrik matrisalarning yig`indisi shaklida ifodalash mumkin.
Isbot. Tartiblari A matrisaning tartibi bilan bir xil hamda yig`indisi A matrisaga teng bo`lgan 𝐵_𝑐 simmetrik va 𝐶_𝑘 antisimmetrik matrisalarning mavjudligini, ya’ni
𝐴 = 𝐵_𝑐 + 𝐶_𝑘 (10)
tenglik o`rinli bo`lishini isbotlaymiz. Shu tenglik o`rinli bo`lsa, va 𝐶_𝑘 matrisalarning A matrisa orqali ifodasini yagona usul bilan topish mumkin. Haqiqatan ravshanki,
𝐵 𝐵_𝑐, 𝐶 .
Shuning uchun
𝐴 .
Endi 𝐴 = 𝐵_𝑐 + 𝐶_𝑘 va 𝐴 𝐶_𝑘 dan quyidagilarni topamiz:
𝐵_𝑐 , 𝐶_𝑘 .
Ko`rinadiki, A + A* matrisa simmetrikdir, chunki
.
Shuningdyek, A — A* matrisa antisimmetrikdir, chunki uning bosh diagonalidagi elementlari nolga teng va u uchun antisimmetriklikning boshqa shartlari ham bajariladi. Shunday qilib, ixtiyoriy kvadrat matrisa uchun yagona (10) yoyilmani topish mumkin.