Algebra va sonlar nazariyasi

Isbot. Yetarliligi. Aytaylik, AB = BA bo‘lsin, u holda, 31.16- lemmaga ko‘ra A va B chiziqli almashtirishlar umumiy a vektorga ega, ya’ni
Aa = Xa , Ba = •
Bu a vektorga ortogonal bo‘lgan (n -1) o‘lchamli V qism fazo A uchun ham, B uchun ham invariant bo‘ladi. A hamda B almashtirishlarni faqat V fazoda qarab, yana 31.16-lemmani

qo‘llasak, V fazoda yotuvchi umumiy e₂ xos vektorni hosil qilamiz, ya’ni

Ae₂ = X e, Be₂ = n₂ e₂.
Bu jarayonni davom ettirib, V ning e₂ vektorga ortogonal bo‘lgan vektorlardan iborat (n - 2) o‘lchamli qism fazoni V₂ kabi belgilaymiz. V₂ fazo ham A va B ga nisbatan invariant bo‘lganligi uchun umumiy e₃ xos vektor mavjud.
Jarayonni n marotaba takrorlash natijasida, A va B chiziqli almashtirishlar xar ikkalasining xos vektori bo‘lgan, juft-jufti bilan ortogonal e, e₂,..., e vektorlarni hosil qilamiz, ya’ni
^Aet = K^ei^{, Be}i = m^{, 1} ^ ^ ^ ⁿ.
Ushbu e, e₂,..., e vektorlarni V fazoning bazisi sifatida qabul qilsak, u holda A va B chiziqli almashtirishlarning xar ikkalasi bu bazisda diagonal shaklga keladi.
Zaruriyligi. Biror ortogonal bazisda A va B chiziqli almashtirishlarning matritsalari diagonal shaklda bo‘lsin. Xar qanday diagonal matritsalarning o‘zaro o‘rin almashuvchi ekanligidan va biror bazisda almashtirishlarning matritsalari o‘rin almashuvchi bo‘lsa, u holda almashtirishlarning o‘zlari ham o‘rin almashuvchi bo‘lishidan AB = BA tenglik kelib chiqadi.
Ta’kidlash joizki, yuqoridagi kabi U va U₂ o‘rin almashuvchi unitar almashtirishlar uchun ham ularning matritsalarini birdaniga diagonal shaklga keltiruvchi umumiy bazis mavjud.
Eslatma. 31.17-teoremani juft-jufti bilan o‘rin almashuvchi o‘z- o‘ziga qo‘shma bo‘lgan bir nechta chiziqli almashtirishlar uchun umumlashtirish mumkin. Buning uchun 31.17-teorema isbotini so‘zma-so‘z takrorlash kifoya, faqat 31.16-lemma o‘rniga quyidagi lemmadan foydalaniladi.

15. 
    lemma. Juft-jufti bilan o‘rin almashuvchi chiziqli almashtirishlar to‘plami umumiy xos vektorga ega.
    

217

Isbot. Isbotni vektor fazoning o‘lchamiga nisbatan induksiya usulini qo‘llash orqali ko‘rsatamiz. Bir o‘lchamli (n = 1) fazo uchun lemmaning to‘g‘riligi o‘z-o‘zidan ravshan. O‘lchami n dan kichik bo‘lgan fazolar uchun lemma isbot etilgan deb faraz qilib, uni n o‘lchamli fazo uchun isbotlaymiz.

Agar V fazoning ixtiyoriy vektori A, A, •••, A chiziqli
almashtirishlar uchun xos vektor bo‘lsa, u holda lemma shu bilan isbot bo‘ladi.
Shuning uchun, hech bo‘lmaganda bitta vektor qaralayotgan almashtirishlardan birontasi uchun, masalan, A uchun xos vektor emas deb faraz qilamiz. A almashtirishning biror X xos soniga mos bo‘lgan barcha xos vektorlardan tashkil topgan fazoni V bilan belgilaylik. 31.15-lemmaga muvofiq, V_x qism fazo A, •••, A chiziqli almashtirishlarga nisbatan invariant. Shu bilan birga V * 0 va V dan farqli bo‘lganligi uchun, dim(V) < n -1 Induksiya faraziga ko‘ra, o‘lchami n dan kichik fazolar uchun teorema o‘rinli. Demak, V fazoda A, A, •••, A almashtirishlarning umumiy xos vektori mavjud.
Normal almashtirishlar. Yuqorida biz o‘z-o‘ziga qo‘shma va unitar almashtirishlarni biror ortonormal bazisda diagonal shaklga keltirish mumkinligini ko‘rsatdik. Shu bilan birga o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar matritsalarining diagonal shaklida diagonalda faqat haqiqiy sonlar, unitar almashtirishlarda esa moduli birga teng bo‘lgan kompleks sonlar bo‘lishini isbot qildik. O‘z-o‘zidan ma’lumki, matritsasi diagonal ko‘rinishga kelib, lekin diagonalida haqiqiy bo‘lmagan, moduli birdan farqli kompleks sonlar ishtirok etsa, bunday chiziqli almashtirish unitar ham o‘z-o‘ziga qo‘shma ham bo‘lmaydi.

19. 
    ta’rif. Agar A chiziqli almashtirish uchun AA* = A*A shart bajarilsa, A normal chiziqli almashtirish deyiladi.
    

Ta’kidlash joizki, unitar va o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar ham normal almashtirishning xususiy holi bo‘ladi.

20. 
    teorema. A chiziqli almashtirishning matritsasi biror ortonormal bazisda diagonal ko‘rinishiga kelishi uchun uning normal bo‘lishi zarur va yetarli.
    

Isbot. Zaruriylik. Biror ortonormal bazisda A almashtirish matritsasi diagonal shaklda bo‘lsin:
X о ... о ^ о X ... о


оо


Bazis ortonormal bo‘lganligi uchun, A*
matritsasi


almashtirishning


\


X о ... о
0 X ... о
_V о о ... X .

• 
  n J
  

ko‘rinishda bo‘ladi.
A va A* almashtirishlarning matritsalari diagonal shaklda bo‘lganligi uchun ular o‘rin almashinuvchidir. Shuning uchun A hamda A* almashtirishlarning o‘zlari ham o‘rin almashuvchi bo‘ladi, ya’ni AA” = A* A.
Yetarlilik. Aytaylik, A normal chiziqli almashtirish bo‘lsin, ya’ni AA = A*A. A va A* almashtirishlar o‘rin almashuvchi bo‘lgani uchun 31.16-lemmaga ko‘ra ular umumiy e_x xos vektorga ega, ya’ni
Ae = X e, a\ = ^ e.
Ushbu e vektorga ortogonal bo‘lgan vektorlardan iborat (n -1 ) o‘lchamli V qism fazo A ga nisbatan ham, AA ga nisbatan ham invariantdir. Haqiqatan ham, x e V ya’ni (x,e ) = о bo‘lsin. U holda
(Ax, e) = (x, A*e) = (x,^e ) = f\( x, e ) = о,
(A*x, e) = (x, Ae) = (x,\e_x) = X( x, e_x) = о, ya’ni Ax, Ax e V.


219

Bu invariant V qism fazoga yana 31.16-lemmani tadbiq qilsak,

bir vaqtning o‘zida A va A* almashtirishlar uchun xos vektor bo‘lgan e₂ e V mavjud ekanligini topamiz.
V₂ orqali V_x qism fazoning e₂ ga ortogonal bo‘lgan vektorlaridan iborat (n - 2) o‘lchamli qism fazoni belgilab, bu
jarayonni n marotaba takrorlasak, A va A* chiziqli almashtirishlarning xar ikkalasi uchun xos vektor bo‘lgan n ta juft- jufti bilan ortogonal a, A, •••, A vektorlarni hosil qilamiz. Bu
A, A, •••, A vektorlar A ni ham, A* ni ham diagonal shaklga keltiradigan ortogonal bazisni tashkil qiladi.

28. 
    - §. Haqiqiy Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar