Algebra va sonlar nazariyasi

Biz ushbu mavzuda haqiqiy fazodagi chiziqli almashtirishlarni batafsil o‘rganamiz. Biror V haqiqiy chiziqli fazo va A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lsin.

1. 
   teorema. Haqiqiy chiziqli fazodagi xar qanday chiziqli almashtirish uchun bir yoki ikki o‘lchamli invariant qism fazo mavjud.
   

Isbot. Aytaylik, V chiziqli fazoda a, A, •••, A bazis berilgan bo‘lib, A chiziqli almashtirishning ushbu bazisdagi matritsasi (a_{t k}) bo‘lsin.
Quyidagi tenglamalar sistemasini qaraymiz:
^au« + ^aiA + •••+^a1jn = ^X« ^a2,A + ^a2,2#2 + ••• + ^a₂Jn = ^X#2^, ₍₃₂ ^
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••,
^an,1^1 + ^an,2^2 + ••• + ^anjn =^XL •


Bu sistemaning noldan farqli (^^••^«О yechimini izlaymiz. Ma’lumki, sistemaning noldan farqli yechimi

^a

1,1


X a


1,2





a


2,1


a


2,2


P(X)


a


n ,1


a


n ,2





determinant faqat nolga teng bo‘lgan holdagina mavjud.
Bu determinantni nolga tenglab, X ga nisbatan n -darajali, haqiqiy koeffitsientli tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama haqiqiy ildizga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi mumkin. Agar tenglama haqiqiy ildizga ega bo‘lmasa, ixtiyoriy ko‘phad kamida bitta kompleks ildizga ega bo‘lganligi uchun bu tenglama ham kompleks ildizga ega bo‘ladi. Demak, biz quyidagi ikkita holni ko‘rib chiqamiz.

1. 
   P(X) ko‘phad haqiqiy ildizga ega bo‘lib, X₀ uning haqiqiy ildizi bo‘lsin. Bu holda (32.1) sistemaning noldan farqli (E°, E°, •••, E„°) yechimi mavjud bo‘ladi.
   

Koordinatalari E°, E\,—, El sonlardan iborat bo‘lgan x = + %2^e2 + •••⁺ E„°e„ vektorni tanlasak, bu vektor uchun


tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, V =< x > fazo bir o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.

2. 
   P(X) ko‘phad haqiqiy ildizga ega bo‘lmasin, u holda bu ko‘phad X₀=a + iP kompleks ildizga ega. U holda (32.1) chiziqli tenglamalar sistemasi ham noldan farqli kompleks ildizga ega bo‘ladi. Aytaylik,
   

sonlarni sistemaga qo‘yib, sistemadagi xar bir tenglamaning haqiqiy va mavhum qismlarini ajratsak, mos ravishda quyidagi sistemalarga ega bo‘lamiz:


Ax = X₀ x


E +/v,, E + W-,, •••, E +iv
~1 1 ’ ~2 2’ ⁵ ^n n
kompleks sonlar (32.1) sistemaning noldan farqli yechimi bo‘lsin. Bu


221

va

^a1,1« + ^a1,2«2 + ••• + ^a1,n«n = ^a«1 ^{- рУ}1^{, a}2,1«1 + ^a2,2«2 + ••• + ^a2,n«n =«#2 ^{- У
a}nA + ^an,2#2 + ••• + ^anjn =«#n ^-P^Vn ^a1,1^V1 + ^a1,2^V2 + ••• + ^a1,n^Vn = «^У1 +P#
^a2,1^y1 + ^a2,2^V2 + ••• + ^a2,n^Vn =«^У2 + « ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••,
a„у + a у + ••• + a у = «у +P«•
n,1 1 n,2 2 n,n n n ~~n


(32.2)


(32.3)


(32.4)


Endi koordinatalari mos ravishda («, «, •••, «) va
(у, у, •••,у) lardan iborat bo‘lgan x va y vektorlarni qaraymiz. U
holda (32.2) va (32.3) munosabatlarni quyidagicha yozish mumkin:
Ax = ax - Py,
Ay = ay + Px•
Bu tenglikdan x va y vektorlardan tashkil topgan ikki o‘lchamli qism fazo A ga nisbatan invariant ekanligini ko‘rish mumkin.
Yuqoridagi teoremadan o‘lchami toq songa teng bo‘lgan haqiqiy fazoda ixtiyoriy chiziqli almashtirish bir o‘lchamli invariant qism fazoga ega ekanligi kelib chiqadi.
Endi haqiqiy Yevklid fazosida o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish tushunchasini kiritamiz.

2. 
   ta’ rif. Agar ixtiyoriy x va y vektorlar uchun (Ax, y) = (x, Ay)
   

shart bajarilsa, A haqiqiy chiziqli almashtirish o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish deyiladi.
Haqiqiy Yevklid fazosida a, A, •••, A ortonormal bazis berilgan bo‘lib, bu bazisda A o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishning matritsasi (a_{t k}) bo‘lsin.

Yevklid fazosidan

x = Ee, + Лe +... + k e , У = Кe + Кe +... + к e
~1 1 ~2 2 ^n n’ s 11 22 n n
vektorlarni olib, quyidagi skalyar ko‘paytmani qaraymiz,
n n
(^Ax, y) = ⁽Z ^а1_ЛЕк^е1 + ... + Z ОЛп^{, y}1^e1 + ... + КА ) =
к=1 к=1 n n n n
Z ЧЛ ^У1 + Z ^а2,к#к^у2 + ... + Z ^anjk К = Z ^а^к^у,.
к=1 к=1 к=1 i, к=1