Algebra va sonlar nazariyasi

(Ue_t,Ue_t) = 1, (Ue,.,Ue_k) = 0, (i * k)
kelib chiqadi.

10. 
    lemma. Unitar almashtirishning xos sonlari moduli 1 ga
    

teng.
Isbot. Aytaylik, x vektor U unitar almashtirishning xos vektori va X esa unga mos keluvchi xos son bo‘lsin, ya’ni
Ux = Xx, x * 0^
Bu holda
(x, x) = (Ux, Ux) = (Xx, Xx) = XX( x, x), ya’ni XX = 1, demak, | X|=L

11. 
    lemma. Aytaylik, e vektor U unitar chiziqli almashtirish­ning xos vektori bo‘lsin. V_x = {x eV | (x, e) = 0} to‘plam U almashti- rishga nisbatan (n -1) o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
    

213

Isbot. Aytaylik, e vektor U unitar chiziqli almashtirishning xos vektori va xeV bo‘lsin. U holda Ue = Xe va (x,e) = 0. Unitar almashtirishning xos soni moduli 1 ga teng ekanligidan X * 0 ga ega bo‘lamiz va quyidagi tengliklardan

(Ux, Ue) = (Ux, Xe) = X(Ux, e),
(Ux, Ue) = (x, U *Ue) = (x, e) = 0 (Ux, e) = 0 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni Ux e V. Demak, V qism fazo U ga nisbatan invariant qism fazo ekan.

12. 
    teorema. n o‘lchamli Yevklid fazosidagi U unitar chiziqli almashtirish n ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega.
    

Isbot. Avvalgi mavzulardan ma’lumki, U unitar almashtirish ham hech bo‘lmaganda bitta xos vektorga ega. Aytaylik, e xos vektor bo‘lsin, u holda 31.11-lemmaga ko‘ra, V chiziqli fazoning e ga ortogonal vektorlaridan iborat bo‘lgan (n -1) o‘lchamli V qism fazo U ga nisbatan invariant bo‘ladi.
Bu V qism fazoda ham U almashtirish kamida bitta e₂ e V xos vektorga ega. V orqali V qism fazoning e ga ortogonal barcha vektorlaridan iborat bo‘lgan invariant qism fazoni belgilaymiz. Bu jarayonni davom ettirish natijasida
v^ V ^ V ^... ^ v .
1 2 n-1
invariant qism fazolarni va bu qism fazolarda yotuvchi juft-jufti bilan ortogonal e, e₂,..., e xos vektorlarni hosil qilamiz.

13. 
    teorema. n o‘lchamli V fazoda ixtiyoriy U unitar almashtirish uchun shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda U almashtirishning matritsasi diagonal shaklda bo‘lib, dioganal elementlari modullari 1 ga teng bo‘lgan sonlardan iborat bo‘ladi.
    

Isbot. Aytaylik, U unitar almashtirish bo‘lsin. Avvalgi teoremada hosil qilingan n ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan vektorlarni bazis sifatida olaylik. U holda,
Ue = Xe,

^Ue2 ^Xe2,

Demak, e, e,-., e bazisda U almashtirishning matritsasi dioganal ko‘rinishga keladi. 31.5-lemmaga muvofiq X, X, . ., X sonlarning modullari 1 ga tengdir.
Ta’kidlash joizki, 31.13-teoremaning teskarisi ham o‘rinlidir, ya’ni, agar biror ortonormal bazisda U almashtirishning matritsasi dioganal ko‘rinishga kelib, dioganalda turgan sonlarning moduli birga teng bo‘lsa, u holda U unitar almashtirishdir.
O‘rin almashuvchi almashtirishlar. Biz yuqorida ixtiyoriy o‘z- o‘ziga qo‘shma yoki unitar chiziqli almashtirishlar uchun ularning matritsasini diagonal shaklga keltiruvchi ortonormal bazis mavjud ekanligini ko‘rsatdik.
Bir necha o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar uchun ularni bir vaqtning o‘zida dioganal ko‘rinishga keltiruvchi bitta umumiy bazis mavjudmi degan savol tug‘ilishi tabiiy. Qanday shartlar bajarilganda bir nechta chiziqli almashtirishning matritsasini diagonal shaklga keltirishni o‘rganaylik. Birinchi navbatda almashtirishlar ikkita bo‘lgan holni qaraymiz.

15. 
    lemma. Agar A va B chiziqli almashtirishlar o‘rin alma­shuvchi (ya’ni AB = BA) bo‘lsa, u holda A almashtirishning berilgan X xos soniga mos bo‘lgan barcha xos vektorlariga tortilgan qism fazo B almashtirishga nisbatan invariant qism fazo bo‘ladi.
    

Isbot. Aytaylik, X xos son va x xos vektor bo‘lsin, ya’ni Ax = Xx. U holda Bx vektorni ham shu X xos soniga mos keluvchi xos vektor ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun AB = BA ekanligidan foydalanib,
A(Bx) = ABx = BAx = B(Ax) = B(Xx) = XBx ekanligini hosil qilamiz. Bu esa Bx vektor ham A chiziqli almashti­rishning X xos songa mos keluvchi xos vektori ekanligini bildiradi.


215

15. 
    lemma. O‘rin almashuvchi A va B chiziqli almashtirishlar umumiy xos vektorga ega.
    

Isbot. Aytaylik, A va B o‘rin almashuvchi chiziqli almashtirishlar bo‘lsin, ya’ni AB = BA• A chiziqli almashtirishning biror X xos soniga mos bo‘lgan barcha xos vektorlarga tortilgan qism fazoni V orqali belgilaylik.

15. 
    lemmaga asosan, V_x qism fazo B almashtirishga nisbatan invariant. Shu sababli V_x qism fazoda B chiziqli almashtirishning kamida bitta xos vektori mavjud. Aytaylik, x₀ e V_x vektor B chiziqli almashtirishning xos vektori bo‘lsin. Bu vektor A uchun ham xos vektor bo‘ladi, chunki V_x ning barcha vektorlari A uchun xos vektordir.
    

Eslatma. Umuman olganda, AB = BA ekanligidan, A chiziqli almashtirishning ixtiyoriy xos vektori, B uchun ham xos vektor bo‘lishi kelib chiqmaydi. Masalan, A sifatida birlik E almashtirishni olsak, u holda bu almashtirish uchun xar qanday x vektor xos vektor bo‘ladi. Lekin, x vektor barcha o‘rin almashtirishlar uchun ham xos vektor bo‘lavermaydi.

15. 
    teorema. Aytaylik, A va B chiziqli almashtirishlar n o‘lchamli V kompleks fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashti­rishlar bo‘lsin. A va B chiziqli almashtirishlarni bir vaqtning o‘zida diagonal shaklga keltiruvchi ortogonal bazis mavjud bo‘lishi uchun, ularning o‘rin almashuvchi bo‘lishi zarur va yetarli.