1
b) \p I—1;
285
c) I-11=(-1)2-;
d)
Isbot.
\ ( a I
I p J=
f iJ =
V p)
f
f
p* f 1 "N
p*
p2
pr
p*
p2
pr
p 2
pr
= 1.
c) quyidagi tenglikni qaraylik:
p*
p 2
pr
= (-1)'
pi-K p2-1 .pr-1
22
2
Ammo,
P - *_ p* • p2 • ••• • pr -*_
1 + 2 • A-11-fl + 2 • p*-1 l,.,fl + 2 • Er-1 I-1
Я-. + ft-. +.. + ft-. + 2 W 2 2 2
p-i
ekanligidan = (“*) 2 kelib chiqadi.
d) ushbu xossa quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:
f
P • «2 • ••• • «k ]_
P
^ P ^
p*
p • p •... • a,
k
p • a2 •... • a,
pi
p • p •... • a
k
2
p*
&_
p*
p2
p2
p2
2
pr
pr
pr
e) ma’lumki, I — I —
IP J .
Quyidagi tenglikdan
P
( о ( о
^2
pr
= (-1)
P2 - 1_ p2 - p2 - ... - p2 - 1
1 + 8
1 + 8
f p2 -1^ 1 + 8p—1
-1
8
p2 -1 p2 -1 p2 -1 — ^ + ^ +... + ^ + 2 N,
8 8 8
xossaning isboti bevosita kelib chiqadi. □
xossa. O‘zaro tub P va Q toq sonlari uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
P-1 Q-1
Q I — (-1)2 - 2
P i
Q
Isbot. Aytaylik, P = p - p2 -... - pr va Q = q - q2 -... - q bo‘lsin.
P
pi
p 2
^ 1 J 2J
'i-1 qJ
2 2
Q
pr
nn( p)
i=1 j—1 pi
—(-1) ■—1 j—1
i—1 j—1 qj
41.13-xossaning c) qismi isboti kabi
,-r^ p [Y^ IIYj11 ГрЛ
ПП(p‘)—(-1) 2 JU'2
P
Q.
Izl = Y^zl+2 n , +2 N2
Y 2 1 2 Y 2 2
ekanligidan xossaning isboti kelib chiqadi.
' 2191
Misol 41.1. | I ni toping.
383 J
k
pf -1 p2 -1 ,p;-1
+
8 8
8
8
8
8
287
-(3831
|
= -( ^
|
1 = -
|
41
2
2
|
V 219 J
|
V 219
|
J =
|
219
V 219 J
|
2191
|
(141 =
|
( 2 1
|
( 7 1 =
|
41 J =
|
f 41J
|
V 41J
|
f 41J
|
|
-( 411 =
|
_(-1
|
)=*•
|
|
f 7 J
|
V 7
|
2191 _ _( 3831 _ _(1641 _ _( 41 • 22 1 _ _(_41_
383 J = f 219 J = V 219 J = 219 J= f 219
7
41
Ushbu misoldan ko‘rinadiki x2 = 219(mod383) tenglama ikkita yechimga ega.
- §. pa va p2a modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar
Boshlang‘ich ildizlar. Ma’lumki, Eyler teoremasiga ko‘ra (a, m) = 1 shartni qanoatlantiruvchi a va m sonlari uchun
a
m) = i(modm). Demak, ar = 1(modm) taqqoslama o‘rinli bo‘la- digan у musbat son xar doim topiladi. Bunday sonlar ichida eng kichigiga a ning m modul bo‘yicha darajasi deyiladi.
xossa. Quyidagi munosabatlar o‘rinli:
agar 5 soni a ning m modul bo‘yicha darajasi bo‘lsa, u holda
= a0, a1, a2,..., a5-1 sonlari m modul bo‘yicha taqqoslanuvchi bo‘lmaydi.
agar 5 soni a ning m modul bo‘yicha darajasi bo‘lsa, ay = ay*(modm) bo‘lishi uchun у = у(mod5) bo‘lishi zarur va yetarli. Shuningdek agar у =0 bo‘lsa, u holda ay =1(mod m) bo‘lishi uchun у soni 5 ga bo‘linishi zarur va yetarli.
Isbot. a) haqiqatan, agar 0 < k < l <5 sonlari uchun a1 = ak (modm) bo‘lsa, u holda al-k = 1(modm) bo‘ladi. 0< l - k < 5 bo‘lganligi uchun, bu 5 soni a ning darajasi ekanligiga zid.
aytaylik, r va r sonlar y = r (mod m), y= rx (mod m) shartlarni qanoatlantiruvchi manfiy bo‘lmagan eng kichik sonlar bo‘lsin. U holda shunday q va q sonlar mavjudki, bunda
у = 5q + r, У1= 5qx + '.
Bu tengliklardan va a = 1(mod m) ekanligidan foydalansak, ay =(as)qar = ar (mod m), a1 — (as)q1 a"1 = o'1 (mod m) munosabatlarni hosil qilamiz. Demak, ay = ay1(mod m) bo‘lishi uchun ar = a'1 (mod m) tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. a) xossadan esa r = ' kelib chiqadi.
Yuqoridagi xossani у = (p(m) va у =0 uchun qo‘llasak, p(m) ning S soniga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy sonning m modul bo‘yicha darajasi (p(m) ning bo‘luvchisi bo‘ladi.
Darajasi p(m) ga teng bo‘lgan sonlar esa m modulning boshlang‘ich ildizlari deyiladi. Ta’kidlash joizki, m modulning barcha qiymatida ham boshlang‘ich ildizlar mavjud bo‘lavermaydi.
pa va 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar. Aytaylik, p > 2 tub son va a> 1 bo‘lsin. Biz pa va 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar mavjudligini isbotlaymiz.
-xossa. Agar x ning m modul bo‘yicha darajasi ab ga teng bo‘lsa, u holda xa ning darajasi b ga teng bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, xa ning darajasi S bo‘lsin, ya’ni xaS = 1(modm).U holda 42.1-xossaga ko‘ra, aS soni ab ga bo‘linishi kelib chiqadi, ya’ni S soni b ga bo‘linadi. Ikkinchi tomondan, esa xab = 1(mod m), ya’ni (xa )b = 1(mod m). Bundan b soni S ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak S = b.
-xossa. Aytaylik, x va y ning m modul bo‘yicha darajalari mos ravishda a va b bo‘lsin. Agar (a,b) = 1 bo‘lsa, u holda xy ning darajasi ab ga teng bo‘ladi.
Isbot. xy ning darajasi S bo‘lsin, ya’ni (xy)S = 1(modm). U holda xbSybS = 1(modm). Bu taqqoslamadan y ning m modul
289
bo‘yicha darajasi b ekanligini hisobga olib, xbs = 1(modm) ni hosil qilamiz. Demak, b5 soni a ga bo‘linadi, (a,b) = 1 bo‘lganligi uchun
soni a ga bo‘linishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o‘xshab, 5 sonining b ga bo‘linishini hosil qilamiz. Bundan esa 5 ni ab ga bo‘linishi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, (xy)ab =1(modm) ekanidan, ab ni 5 ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, 5 = ab.
-xossa. p modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.
Isbot. Aytaylik, 1,2,..., p-1 sonlarining p modul bo‘yicha barcha turli darajalari 5, 5, •••, 5 bo‘lsin. т orqali bu darajalarning eng kichik umumiy karralisini belgilab, uning т = qJ • qJ2 •... • qJ kanonik yoyilmasini qaraymiz.
a •
U holda xar bir qf uchun, bu songa bo‘linuvchi 5t topiladi, ya’ni, 5 = aqJ. Darajasi 5 bo‘lgan xj soni uchun xa ni qarasak,
xossaga ko‘ra xa sonining darajasi qJ bo‘ladi.
xossaga ko‘ra g = xai • x^2 •... • xatk sonining darajasi esa
qJ • qJ2 •... • qJ =т ga teng. Berilgan 5, 5, •••, 5 sonlar т ning bo‘luvchilari ekanidan ixtiyoriy x e {1,2,..., p -1} soni uchun xT = 1(mod p) taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.
Tenglama ildizlari soni uning darajasidan katta bo‘lmaganligi uchun p -1 < т kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan ixtiyoriy sonning darajasi p -1 ning bo‘luvchisi bo‘lganligi uchun т< p -1. Demak, т = p -1 ya’ni, g boshlang‘ich ildiz.
tasdiq. Ixtiyoriy a> 1 uchun pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.
Isbot. Aytaylik, g soni p modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘lsin. 42.4-xossaga ko‘ra bunday g mavjud. U holda gp1 — 1 + pT0 tenglik o‘rinli. Bundan esa, ixtiyoriy t soni uchun
(g + p -1)рЧ — 1 + p(T - gP~2 -1 + p - T) — 1 + p - u (42.1)
ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdagi t va u sonlari p modul bo‘yicha barcha chegirmalarni qabul qilganligi uchun, t ni u soni p ga bo‘linmaydigan qilib tanlash mumkin. Bunday t lar uchun quyidagilarga ega bo‘lamiz.
'(g + p -1)p(p-1) — (1 + p - u)p — 1 + p2u2,
(g + p -1)p2(p-1) — (1 + p2 - U2)p — 1 + p3U3,
< (42.2)
(g + p -1)pk-1(p-1) — (1 + pk-1 - U2)p — 1 + pkuk,
bu yerda u2, u3,..., uk,... sonlari p ga bo‘linmaydi.
Aytaylik, g + pt sonining pa bo‘yicha darajasi S bo‘lsin, u holda
(g + p - t)S = 1(mod pa).
Bu yerdan (g + p - t)S = 1(mod p) ekanligi, ya’ni S ning p -1 ga bo‘linishi kelib chiqadi. p(pa) — pa l(p-1) bo‘lganligi va S daraja p(pa) sonining bo‘luvchisi ekanligidan S — pr-1(p -1) kelib chiqadi. (42.1) va (42.2) tengliklarga asosan,
(g + p -1 )S — (g + p -1) p'-1( p-1) — 1 + prur, bu yerda щ — u deb olamiz. Demak, 1 + prur = 1(modpa), ya’ni pr = 0(modpa). Bundan esa r — a kelib chiqadi. Bu esa S — p(pa) ekanligini bildiradi, ya’ni g + pt soni pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz.
291
tasdiq. Ixtiyoriy a> 1 uchun 2 pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.
Isbot. Aytaylik, g soni pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘lsin. U holda g va g + pa sonlaridan toq bo‘lgani 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘ladi.
Haqiqatan ham, agar g toq bo‘lsa, u holda g5 = 1(modpa) ekanligidan g*5 = 1(mod2 pa) kelib chiqadi. (p( pa) = p(2 pa) bo‘lganligi uchun g soni 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘ladi. Agar g juft son bo‘lsa, u holda g* + pa toq son bo‘ladi, hamda yuqoridagi kabi g* + pa soni 2 pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz ekanligi kelib chiqadi.
15
|
Gorner sxemasi
|
118
|
56
|
ildiz chegaralari
|
138
|
|
inersiya qonuni
|
195
|
118
|
invariant qism fazo
|
212
|
|
inversiya
|
37
|
274
|
inyektiv akslantirish
|
16
|
152
|
izomorfizm
|
174
|
116
|
Jordan katagi
|
254
|
176
|
Kardano formulasi
|
130
|
12
|
keltirilmas ko‘phadlar
|
121
|
|
ko‘phadlar
|
102
|
98
|
kompleks sonlar kompleks sonning
|
20
|
288
|
argumenti
|
27
|
47
|
kompleks sonning ildizi
|
31
|
33
|
kompleks sonning moduli
|
27
|
16
|
Koshi-Bunyakovskiy
|
|
312
|
tengsizligi
|
166
|
12
|
Kramer usuli
|
75
|
48
|
Kroneker-Kapelli teoremasi
|
100
|
13
|
kvadrat matritsa
|
42
|
287
|
kvadratik chegirma
|
302
|
287
|
kvadratik forma
|
181
|
160
|
kvadratik forma rangi
|
198
|
|
Lagranj usuli
|
186
|
163
|
Laplas teoremasi
|
65
|
161
|
Lejandr simvoli
|
305
|
288
|
matritsa
|
42
|
136
|
matritsaning rangi
|
92
|
100
|
minor
|
60
|
79
|
Muavr formulasi
|
29
|
283
|
Viyet formulasi
|
122
|
293
munosib kasrlar
|
272
|
xarakteristik ko‘phad
|
215
|
n-darajali chegirma
|
302
|
xos son
|
213
|
normal almashtirish
|
236
|
xos vektor
|
213
|
ortogonal bazis
|
168
|
xosmas almashtirish
|
207
|
ortogonal proyeksiya
|
172
|
xosmas matritsa
|
68
|
ortogonal to‘ldiruvchi
|
172
|
Yakobi simvoli
|
309
|
ortogonallashtirish jarayoni
|
170
|
Yakobi usuli
|
192
|
ortonormal bazis
|
168
|
Yevklid algoritmi
|
111
|
primar kasr
|
127
|
Yevklid fazosi
|
164
|
qism fazo
|
158
|
o‘lcham
|
152
|
qism to‘plam
|
7
|
o‘rin almashtirish
|
35
|
qo‘shma almashtirish
|
221
|
o‘rniga qo‘yish
|
38
|
qoldiqlar haqidagi Xitoy
|
|
o‘z-o‘ziga qo‘shma
|
|
teoremasi
|
294
|
almashtirish
|
223
|
qoldiqli bo‘lish
|
106
|
chegirmalar
|
280
|
ratsional kasr
|
123
|
chiziqli almashtirish
|
201
|
Shturm ko‘phadlari
|
142
|
chiziqli almashtirish
|
|
simmetrik bichiziqli forma
|
178
|
matritsasi
|
203
|
sodda kasr
|
127
|
chiziqli almashtirish obrazi
|
207
|
syurektiv akslantirish
|
16
|
chiziqli almashtirish
|
|
taqqoslamalar
|
277
|
yadrosi
|
204
|
teskari matritsa
|
48
|
chiziqli almashtirishning
|
|
to‘g‘ri ratsional kasr
|
124
|
Jordan shakli
|
255
|
to‘plam
|
7
|
chiziqli bog‘liqlik
|
86
|
to‘plamlarning ayirmasi
|
10
|
chiziqli erklilik
|
86
|
to‘plamlarning birlashmasi
|
9
|
chiziqli fazo
|
150
|
to‘plamlarning kesishmasi
|
8
|
chiziqli funksiya
|
176
|
transponirlangan matritsa
|
42
|
|
|
transpozitsiya
|
35
|
|
|
unitar almashtirish
|
228
|
|
|
uzluksiz kasrlar
|
271
|
|
|
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Algeba and Number theory. 2010. - 523 p.
Everest G., Ward T. An Introduction to Number Theory. 2006.
James J.T. Elementry number thory in nine chapters. 1999. - 417 p.
Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. - 433 p.
Strang G. Introduction to Linear algebra. 2016. - 584 p.
Бухштаб А.А. Теория чисел. 1966. - 386 с.
Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное пособие. 2014. - 52 с.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. 1948. - 178 c.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 1998. - 320 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2000. - 272 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. 2000. - 368 с.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва. 1979. -559
с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 2008. - 432 c.
Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 2010. - 480 с.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2007. - 416 с.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, Санкт-Петербург, 1999. - 304 с.
Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент, «Узбекистан», 2001 й.
295
Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiyev, F.H.Haydarov
ALGEBRA VA SONLAR NAZARIYASI
(o‘quv qo‘llanma)
Muharrir:
Texnik muharrir:
Dizayner:
Musahhih:
Sahifalovchi:
A.Abdujalilov A.Xo‘jabekov U.Voxidov D.O‘ rinova Y.O‘rinov
Nashriyot litsenziyasi: AI №190.
Bosishga 23.12.2019-yilda ruxsat etildi. Bichimi: 60x84 1/16. Ofset bosma. «Times New Roman» garniturasi. Nashr b.t. 18.5. Adadi 200 nusxa. Buyurtma №21/12.
«Tafakkur-bo‘stoni» nashriyoti. 100190. Toshkent shahar, Yunusobod-9, 13-54. e-mail: yunusali_1987@mail.ru
«Shafoat Nur Fayz» MCHJ bosmaxonasida chop etildi. Toshkent shahri, Uchtepa tomani, Maxorat ko‘chasi 71-uy Telefon: +99890 000-33-93, +99899 993-83-36
Do'stlaringiz bilan baham: |