Algebra va sonlar nazariyasi



Download 0,7 Mb.
bet72/72
Sana08.03.2022
Hajmi0,7 Mb.
#486497
1   ...   64   65   66   67   68   69   70   71   72
1


b) \p I—1;


285


c) I-11=(-1)2-;




d)





Isbot.
\ ( a I

  1. I p J=

  2. f iJ =

V p)


f


f


p* f 1 "N


p*


p2


pr


p*


p2


pr


p 2


pr


= 1.


c) quyidagi tenglikni qaraylik:


p*


p 2


pr


= (-1)'


pi-K p2-1 .pr-1


22


2


Ammo,


P - *_ p* • p2 • ••• • pr -*_


1 + 2 • A-11-fl + 2 • p*-1 l,.,fl + 2 • Er-1 I-1


Я-. + ft-. +.. + ft-. + 2 W 2 2 2
p-i


ekanligidan = (“*) 2 kelib chiqadi.
d) ushbu xossa quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:


f


P«2 • ••• • «k ]_
P


^ P ^
p*


p • p •... • a,


k


p • a2 •... • a,


pi


p • p •... • a


k


2
p*


&_
p*


p2


p2


p2


2


pr




pr


pr





e) ma’lumki, I — I —
I
P J .
Quyidagi tenglikdan


P


( о ( о


^2


pr


= (-1)


P2 - 1_ p2 - p2 - ... - p2 - 1


1 + 8


1 + 8


f p2 -1^ 1 + 8p1


-1


8
p2 -1 p2 -1 p2 -1 — ^ + ^ +... + ^ + 2 N,
8 8 8
xossaning isboti bevosita kelib chiqadi. □

  1. xossa. O‘zaro tub P va Q toq sonlari uchun quyidagi tenglik o‘rinli:


P-1 Q-1
Q I — (-1)2 - 2
P i


Q


Isbot. Aytaylik, P = p - p2 -... - pr va Q = q - q2 -... - q bo‘lsin.


P


pi


p 2


^ 1 J 2J
'i-1 qJ
2 2


Q
pr


nn( p)
i=1 j—1 pi


(-1) ■—1 j—1
i—
1 j—1 qj
41.13-xossaning c) qismi isboti kabi


,-r^ p [Y^ IIYj11 ГрЛ
ПП(p‘)—(-1) 2 JU'2


P
Q.


Izl = Y^zl+2 n , +2 N2

  1. Y 2 1 2 Y 2 2

ekanligidan xossaning isboti kelib chiqadi.
' 2191
Misol 41.1. | I ni toping.
383 J


k


pf -1 p2 -1 ,p;-1


+


8 8


8


8


8


8


287




-(3831

= -( ^

1 = -

41
2
2

V 219 J

V 219

J =

219
V 219 J

2191

(141 =

( 2 1

( 7 1 =

41 J =

f 41J

V 41J

f 41J




-( 411 =

_(-1

)=*•




f 7 J

V 7


2191 _ _( 3831 _ _(1641 _ _( 41 22 1 _ _(_41_
383
J = f 219 J = V 219 J = 219 J= f 219
7
41


Ushbu misoldan ko‘rinadiki x2 = 219(mod383) tenglama ikkita yechimga ega.


  1. - §. pa va p2a modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar

Boshlang‘ich ildizlar. Ma’lumki, Eyler teoremasiga ko‘ra (a, m) = 1 shartni qanoatlantiruvchi a va m sonlari uchun
a
m) = i(modm). Demak, ar = 1(modm) taqqoslama o‘rinli bo‘la- digan у musbat son xar doim topiladi. Bunday sonlar ichida eng kichigiga a ning m modul bo‘yicha darajasi deyiladi.

    1. xossa. Quyidagi munosabatlar o‘rinli:

  1. agar 5 soni a ning m modul bo‘yicha darajasi bo‘lsa, u holda

  1. = a0, a1, a2,..., a5-1 sonlari m modul bo‘yicha taqqoslanuvchi bo‘lmaydi.

  1. agar 5 soni a ning m modul bo‘yicha darajasi bo‘lsa, ay = ay*(modm) bo‘lishi uchun у = у(mod5) bo‘lishi zarur va yetarli. Shuningdek agar у =0 bo‘lsa, u holda ay =1(mod m) bo‘lishi uchun у soni 5 ga bo‘linishi zarur va yetarli.

Isbot. a) haqiqatan, agar 0 < k < l <5 sonlari uchun a1 = ak (modm) bo‘lsa, u holda al-k = 1(modm) bo‘ladi. 0< l - k < 5 bo‘lganligi uchun, bu 5 soni a ning darajasi ekanligiga zid.

  1. aytaylik, r va r sonlar y = r (mod m), y= rx (mod m) shartlarni qanoatlantiruvchi manfiy bo‘lmagan eng kichik sonlar bo‘lsin. U holda shunday q va q sonlar mavjudki, bunda


у = 5q + r, У1= 5qx + '.


Bu tengliklardan va a = 1(mod m) ekanligidan foydalansak, ay =(as)qar = ar (mod m), a1(as)q1 a"1 = o'1 (mod m) munosabatlarni hosil qilamiz. Demak, ay = ay1(mod m) bo‘lishi uchun ar = a'1 (mod m) tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. a) xossadan esa r = ' kelib chiqadi.
Yuqoridagi xossani у = (p(m) va у =0 uchun qo‘llasak, p(m) ning S soniga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy sonning m modul bo‘yicha darajasi (p(m) ning bo‘luvchisi bo‘ladi.
Darajasi p(m) ga teng bo‘lgan sonlar esa m modulning boshlang‘ich ildizlari deyiladi. Ta’kidlash joizki, m modulning barcha qiymatida ham boshlang‘ich ildizlar mavjud bo‘lavermaydi.
pa va 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar. Aytaylik, p > 2 tub son va a> 1 bo‘lsin. Biz pa va 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildizlar mavjudligini isbotlaymiz.

  1. -xossa. Agar x ning m modul bo‘yicha darajasi ab ga teng bo‘lsa, u holda xa ning darajasi b ga teng bo‘ladi.

Isbot. Aytaylik, xa ning darajasi S bo‘lsin, ya’ni xaS = 1(modm).U holda 42.1-xossaga ko‘ra, aS soni ab ga bo‘linishi kelib chiqadi, ya’ni S soni b ga bo‘linadi. Ikkinchi tomondan, esa xab = 1(mod m), ya’ni (xa )b = 1(mod m). Bundan b soni S ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak S = b.

  1. -xossa. Aytaylik, x va y ning m modul bo‘yicha darajalari mos ravishda a va b bo‘lsin. Agar (a,b) = 1 bo‘lsa, u holda xy ning darajasi ab ga teng bo‘ladi.

Isbot. xy ning darajasi S bo‘lsin, ya’ni (xy)S = 1(modm). U holda xbSybS = 1(modm). Bu taqqoslamadan y ning m modul


289


bo‘yicha darajasi b ekanligini hisobga olib, xbs = 1(modm) ni hosil qilamiz. Demak, b5 soni a ga bo‘linadi, (a,b) = 1 bo‘lganligi uchun



  1. soni a ga bo‘linishi kelib chiqadi.

Xuddi shunga o‘xshab, 5 sonining b ga bo‘linishini hosil qilamiz. Bundan esa 5 ni ab ga bo‘linishi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, (xy)ab =1(modm) ekanidan, ab ni 5 ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, 5 = ab.

  1. -xossa. p modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.

Isbot. Aytaylik, 1,2,..., p-1 sonlarining p modul bo‘yicha barcha turli darajalari 5, 5, •••, 5 bo‘lsin. т orqali bu darajalarning eng kichik umumiy karralisini belgilab, uning т = qJ • qJ2... qJ kanonik yoyilmasini qaraymiz.
a
U holda xar bir qf uchun, bu songa bo‘linuvchi 5t topiladi, ya’ni, 5 = aqJ. Darajasi 5 bo‘lgan xj soni uchun xa ni qarasak,

    1. xossaga ko‘ra xa sonining darajasi qJ bo‘ladi.

    2. xossaga ko‘ra g = xai • x^2 •... • xatk sonining darajasi esa

qJ • qJ2... qJ ga teng. Berilgan 5, 5, •••, 5 sonlar т ning bo‘luvchilari ekanidan ixtiyoriy x e {1,2,..., p -1} soni uchun xT = 1(mod p) taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.
Tenglama ildizlari soni uning darajasidan katta bo‘lmaganligi uchun p -1 < т kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan ixtiyoriy sonning darajasi p -1 ning bo‘luvchisi bo‘lganligi uchun т< p -1. Demak, т = p -1 ya’ni, g boshlang‘ich ildiz.

  1. tasdiq. Ixtiyoriy a> 1 uchun pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.


Isbot. Aytaylik, g soni p modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘lsin. 42.4-xossaga ko‘ra bunday g mavjud. U holda gp1 — 1 + pT0 tenglik o‘rinli. Bundan esa, ixtiyoriy t soni uchun


(g + p -1)рЧ — 1 + p(T - gP~2 -1 + p - T) — 1 + p - u (42.1)
ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdagi t va u sonlari p modul bo‘yicha barcha chegirmalarni qabul qilganligi uchun, t ni u soni p ga bo‘linmaydigan qilib tanlash mumkin. Bunday t lar uchun quyidagilarga ega bo‘lamiz.
'(g + p -1)p(p-1) — (1 + p - u)p — 1 + p2u2,
(g + p -1)p2(p-1) — (1 + p2 - U2)p — 1 + p3U3,
< (42.2)
(g + p -1)pk-1(p-1) — (1 + pk-1 - U2)p — 1 + pkuk,


bu yerda u2, u3,..., uk,... sonlari p ga bo‘linmaydi.
Aytaylik, g + pt sonining pa bo‘yicha darajasi S bo‘lsin, u holda
(g + p - t)S = 1(mod pa).
Bu yerdan (g + p - t)S = 1(mod p) ekanligi, ya’ni S ning p -1 ga bo‘linishi kelib chiqadi. p(pa)pa l(p-1) bo‘lganligi va S daraja p(pa) sonining bo‘luvchisi ekanligidan S — pr-1(p -1) kelib chiqadi. (42.1) va (42.2) tengliklarga asosan,
(g + p -1 )S(g + p -1) p'-1( p-1) — 1 + prur, bu yerda щu deb olamiz. Demak, 1 + prur = 1(modpa), ya’ni pr = 0(modpa). Bundan esa r — a kelib chiqadi. Bu esa Sp(pa) ekanligini bildiradi, ya’ni g + pt soni pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz.


291


  1. tasdiq. Ixtiyoriy a> 1 uchun 2 pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz mavjud.

Isbot. Aytaylik, g soni pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘lsin. U holda g va g + pa sonlaridan toq bo‘lgani 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘ladi.
Haqiqatan ham, agar g toq bo‘lsa, u holda g5 = 1(modpa) ekanligidan g*5 = 1(mod2 pa) kelib chiqadi. (p( pa) = p(2 pa) bo‘lganligi uchun g soni 2pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz bo‘ladi. Agar g juft son bo‘lsa, u holda g* + pa toq son bo‘ladi, hamda yuqoridagi kabi g* + pa soni 2 pa modul bo‘yicha boshlang‘ich ildiz ekanligi kelib chiqadi.




15

Gorner sxemasi

118

56

ildiz chegaralari

138




inersiya qonuni

195

118

invariant qism fazo

212




inversiya

37

274

inyektiv akslantirish

16

152

izomorfizm

174

116

Jordan katagi

254

176

Kardano formulasi

130

12

keltirilmas ko‘phadlar

121




ko‘phadlar

102

98

kompleks sonlar kompleks sonning

20

288

argumenti

27

47

kompleks sonning ildizi

31

33

kompleks sonning moduli

27

16

Koshi-Bunyakovskiy




312

tengsizligi

166

12

Kramer usuli

75

48

Kroneker-Kapelli teoremasi

100

13

kvadrat matritsa

42

287

kvadratik chegirma

302

287

kvadratik forma

181

160

kvadratik forma rangi

198




Lagranj usuli

186

163

Laplas teoremasi

65

161

Lejandr simvoli

305

288

matritsa

42

136

matritsaning rangi

92

100

minor

60

79

Muavr formulasi

29

283

Viyet formulasi

122


293




munosib kasrlar

272

xarakteristik ko‘phad

215

n-darajali chegirma

302

xos son

213

normal almashtirish

236

xos vektor

213

ortogonal bazis

168

xosmas almashtirish

207

ortogonal proyeksiya

172

xosmas matritsa

68

ortogonal to‘ldiruvchi

172

Yakobi simvoli

309

ortogonallashtirish jarayoni

170

Yakobi usuli

192

ortonormal bazis

168

Yevklid algoritmi

111

primar kasr

127

Yevklid fazosi

164

qism fazo

158

o‘lcham

152

qism to‘plam

7

o‘rin almashtirish

35

qo‘shma almashtirish

221

o‘rniga qo‘yish

38

qoldiqlar haqidagi Xitoy




o‘z-o‘ziga qo‘shma




teoremasi

294

almashtirish

223

qoldiqli bo‘lish

106

chegirmalar

280

ratsional kasr

123

chiziqli almashtirish

201

Shturm ko‘phadlari

142

chiziqli almashtirish




simmetrik bichiziqli forma

178

matritsasi

203

sodda kasr

127

chiziqli almashtirish obrazi

207

syurektiv akslantirish

16

chiziqli almashtirish




taqqoslamalar

277

yadrosi

204

teskari matritsa

48

chiziqli almashtirishning




to‘g‘ri ratsional kasr

124

Jordan shakli

255

to‘plam

7

chiziqli bog‘liqlik

86

to‘plamlarning ayirmasi

10

chiziqli erklilik

86

to‘plamlarning birlashmasi

9

chiziqli fazo

150

to‘plamlarning kesishmasi

8

chiziqli funksiya

176

transponirlangan matritsa

42







transpozitsiya

35







unitar almashtirish

228







uzluksiz kasrlar

271








FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI


  1. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Algeba and Number theory. 2010. - 523 p.

  2. Everest G., Ward T. An Introduction to Number Theory. 2006.

  • 297 p.

  1. James J.T. Elementry number thory in nine chapters. 1999. - 417 p.

  2. Kuttler K. Elementary linear algebra. 2012. - 433 p.

  3. Strang G. Introduction to Linear algebra. 2016. - 584 p.

  4. Бухштаб А.А. Теория чисел. 1966. - 386 с.

  5. Веретенников Б.М., Михалева М.М., Алгебра и теория чисел. Учебное пособие. 2014. - 52 с.

  6. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 1948. - 178 c.

  7. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 1998. - 320 с.

  8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. 2000. - 272 с.

  9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. 2000. - 368 с.

  10. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Москва. 1979. -559

с.

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 2008. - 432 c.

  2. Проскуряков И.Л. Сборник задач по линейной алгебре. «Наука», 2010. - 480 с.

  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. 2007. - 416 с.

  4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре, Санкт-Петербург, 1999. - 304 с.

  5. Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент, «Узбекистан», 2001 й.


295


Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiyev, F.H.Haydarov




ALGEBRA VA SONLAR NAZARIYASI
(o‘quv qo‘llanma)


Muharrir:
Texnik muharrir:
Dizayner:
Musahhih:
Sahifalovchi:



A.Abdujalilov A.Xo‘jabekov U.Voxidov D.O‘ rinova Y.O‘rinov


Nashriyot litsenziyasi: AI №190.
Bosishga 23.12.2019-yilda ruxsat etildi. Bichimi: 60x84 1/16. Ofset bosma. «Times New Roman» garniturasi. Nashr b.t. 18.5. Adadi 200 nusxa. Buyurtma №21/12.


«Tafakkur-bo‘stoni» nashriyoti. 100190. Toshkent shahar, Yunusobod-9, 13-54. e-mail: yunusali_1987@mail.ru


«Shafoat Nur Fayz» MCHJ bosmaxonasida chop etildi. Toshkent shahri, Uchtepa tomani, Maxorat ko‘chasi 71-uy Telefon: +99890 000-33-93, +99899 993-83-36


Download 0,7 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   64   65   66   67   68   69   70   71   72




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish