Algebra va sonlar nazariyasi

x - (105 • 1 + 56 • 3 +120 • 2)(mod140) = 93(mod140)

37. 
    - §. Ixtiyoriy modul bo‘yicha я-darajali taqqoslamalar
    

Ushbu mavzuda n -darajali ixtiyoriy f (x) = a₀xⁿ + a_xx^{n 1} +... + a_n ko‘phad uchun
f (x) - 0(mod m), (40.1)
taqqoslamali tenglamani o‘rganamiz.
Dastlab m tub son bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni m = p.

1. 
   tasdiq. f (x) - 0(mod p) ko‘rinishidagi taqqoslama darajasi p -1 dan oshmaydigan taqqoslamaga teng kuchli.
   

Isbot. f (x) ko‘phadni x^p -x ko‘phadga qoldiqli bo‘lamiz: f (x) = (x^p - x)q(x) + r(x), degr (x) < p -1.
p tub son bo‘lganligi uchun Fermaning kichik teoremasiga ko‘ra x^p - x - 0(mod p). Demak, f (x) - r(x)(modp). □

2. 
   tasdiq. Agar f (x) - 0(modp) taqqoslama n tadan ko‘p yechimga ega bo‘lsa, f (x) ko‘phadning barcha koeffitsientlari p ga bo‘linadi, bu yerda n = deg f (x).
   

Isbot. Aytaylik, f (x) = a₀xⁿ + ax^n-i +... + a bo‘lsin. Taqqoslama n tadan ko‘p yechimga ega bo‘lsa, x*,x₂,...,x_n,x_n+* sonlarni uning yechimi deb olib, f (x) ko‘phadni quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:
f( x) = b₀( x - x*k • (x - x2) •... • (x - x_n_2) • (x - x_n_i) • (x - x_n k +
+b*(x - x*k • (x - x2k •... • (x - xn_₂) • (x - xn-ik +
+b2( x - x*k • (x - x2k •... • (x - x_n_₂) +
+ + (40.2)
+bn-2( x - x*) • (x - x2) +
+^bn-i^{(x - x}*^k +
+bn


273

Buning uchun b₀ = a₀ deb olib, b koeffitsientni (40.2) ifodada x^n—1 hadning oldidagi koeffitsienti a ga teng bo‘lishidan topamiz, ya’ni b ning ko‘rinishi a va b₀ larning chiziqli ifodasidan iborat

bo‘ladi. So‘ngra, x^n—2 hadning oldidagi koeffitsientni tenglash orqali b₂ ning ko‘rinishini a₂, b va b₀ larning chiziqli ifodasi orqali topamiz. Bu jarayonni davom ettirish natijasida ozod hadlarni tenglab, b_n ni a, b^, ..., b₀ orqali chiziqli ifodalaymiz. Demak, f (x) ko‘phadni (40.2) ko‘rinishga keltirish mumkin.
x , x ,... , x , x sonlari taqqoslamaning ildizlari ekanligidan b„,b_n—1,...,b₍,b₀ sonlari p ga bo‘linishi kelib chiqadi. a_n,a_n—(,...,a,,a₀ sonlari p ga bo‘linadigan sonlar orqali chiziqli ifodalangani uchun ular ham p ga bo‘linadi.

3. 
   tasdiq (Vilson teoremasi). Ixtiyoriy p tub son uchun
   

1. 
   • 2 •... • (p — 1) +1 = 0(mod p).
   

Isbot. p = 2 uchun tasdiq to‘g‘ri ekanligi ravshan.
Agar p > 2 bo‘lsa, quyidagi taqqoslamani qaraymiz (x — 1) • (x — 2) •... • (x — (p — 1)) — (x^p—1 — 1) = 0(mod p). Ma’lumki, bu taqqoslamaning darajasi p — 1 dan kichik bo‘lib, p — 1 ta 1, 2,..., p — 1 yechimlarga ega. Demak, 40.2-tasdiqqa ko‘ra bu taqqoslamadagi ko‘phadning barcha koeffitsientlari p ga bo‘linadi. Xususan, uning ozod hadi ( 2 •... • (p — 1) +1 ga teng bo‘lib, u ham p ga bo‘linadi. □
Endi m = p^a bo‘lgan holni, ya’ni
f (x) = 0(mod p^a) (40.3)
ko‘rinishidagi taqqoslamalarni qaraymiz. Umuman olganda ushbu taqqoslamani yechish masalasi
f (x) = 0(mod p) (40.4)
taqqoslamani yechishga keltiriladi.

3. 
   taqqoslamaning ixtiyoriy yechimi (40.4) taqqoslamaning ham yechimi bo‘lishi ravshan.
   

Endi (40.4) taqqoslama yechimi orqali (40.3) taqqoslama yechimini qurishni ko‘rsatamiz. Aytaylik, (40.4) taqqoslamaning biror umumiy yechimi x - x (mod p) bo‘lsin, ya’ni x = x + p • ^ ko‘rinishidagi sonlar yechim bo‘lsin. f (x) ko‘phadni x* nuqta atrofida
f(x) = f(xk + f'(x)(x - x*) + ^{f ( x}‘^k (x - x*)² +... + ^{f (xik} (x -¹ , 2! n!
ko‘rinishida Teylor qatoriga yoyib, ushbu f (x + p • t) - 0(modp²) taqqoslamani qarasak, bu taqqoslamaning ko‘rinishi quyidagi shaklga keladi
f (x*k + p • t* • f' (x*) - 0(mod p²),
ya’ni
+1* • f' (x k - 0(mod p). ^p11
Bu esa, t noma’lumga nisbatan birinchi darajali taqqoslama bo‘lib, f'(x) soni p ga bo‘linmasa bu taqqoslama yagona yechimga ega bo‘ladi. Aytaylik, t* - t'(modp) uning yechimi bo‘lsin, ya’ni t = t/ + p • ^. U holda
x = x + p • t = x + p • t/ + p² ^ = x₂ + p²^
Ushbu sonlarni f (x) - 0(modp³) taqqoslamaga qo‘yib, f (x) ko‘phadni x₂ nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyilmasidan foydalansak,
f (x2k + p² • 2 • f'(x2) - 0(mod p³),
ya’ni
+12 • f'(x2) - 0(mod p)
p
taqqoslamaga ega bo‘lamiz.


275




x₂ = x + p • t; ekanligidan f'(x₂) - f'(x )(mod p) kelib chiqadi, ya’ni f '(x) soni p ga bo‘linmaganligi uchun f'(x₂) ham p ga bo‘linmaydi. Bundan esa t₂ noma’lumga nisbatan hosil bo‘lgan yuqoridagi birinchi darajali taqqoslama ham yagona yechimga egaligi kelib chiqadi. Agar t₂ - t'₂ (mod p) uning yechimi, ya’ni t₂ = t'₂+ p • t₃ bo‘lsa, u holda