Algebra va sonlar nazariyasi

= {..., -2m, -m, 0, m, 2m,...},

= {..., -m +1,1, m +1,...},

9
m -1 = {..., -2m -1, -1, m-1,2m-1,...}.
Ta’kidlash joizki, m modul bo‘yicha chegirmalar sinflarining ta’rifidan a = b(moAm) munosabat a = b munosabatga teng kuchlidir.

2. 
   teoremaga asosan, Ъ to‘plamnining m modul bo‘yicha turli chegirmalar sinfi faktor to‘plamning elementlari bo‘ladi, ushbu faktor to‘plam Z_ra kabi belgilanadi, ya’ni
   

259

+		0		1		2		3		4		5
0		0		1		2		3		4		5
1		1		2		3		4		5		0
2		2		3		4		5		0		1
3		3		4		5		0		1		2
4		4		5		0		1		2		3
5		5		0		1		2		3		4
	0		1		2		3		4		5
0	0		0		0		0		0		0
1	0		1		2		3		4		5
2	0		2		4		0		2		4
3	0		3		0		3		0		3
4	0		4		2		0		4		2
5	0		5		4		3		2		1

Ravshanki, Ъ_т to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik qonunlariga bo‘ysunadi, ya’ni

1. 
   a + b = b + a;
   
2. 
   a • b = b • a;
   
3. 
   a + (b + c) = (a + b) + c;
   
4. 
   a • (b • c) = (a • b) • c;
   
5. 
   a • (b + c) = a • b + a • c.
   

Hosil qilingan chegirmalar sinflari uchun quyidagi xossalar o‘rinli.

n		n		n
—	+		+
p		p~		p^J

Isbot. Ravshanki, n! ko‘paytmaning ko‘paytuvchilari orasida tasi p^k ga n	tasi p ga,	n	tasi p ^2 ga va hakazo	n
		2		k
_ p _		_ p _		_ p _

bo‘linadi. Ushbu sonlar yig‘indisi n! ko‘paytmaga bo‘linishi mumkin bo‘lgan p ning eng yuqori darajasiga teng bo‘ladi. □
Misol 38.2. 40! soni ko‘pi bilan 3 ning nechanchi darajasiga bo‘linishini aniqlasak,


261

40		40		40
	+		+
3		9		27

= 13 + 4 +1 = 18.


Demak, 40! soni 3¹⁸ ga qoldiqsiz bo‘linadi.
Multiplikativ funksiyalar ham sonlar nazariyasida muhim o‘rin egallaydi.

13. 
    ta’rif. Quyidagi shartlarni qanoatlantirsa 0(a) funksiya multiplikativ funksiya deyiladi:
    

1. 
   0(a) funksiya barcha musbat butun a lar uchun aniqlanib, ko‘pi bilan bitta qiymati 0 ga teng va barcha qolgan qiymatlari 0 dan farqli;
   
2. 
   ixtiyoriy o‘zaro tub a va a₂ musbat butun sonlar uchun
   

0(aa) = 0(^a\ )0(a).
Misol 38.3 0(a) = a^s, seR funksiya mutiplikativ funksiya bo‘ladi.
Multiplikativ funksiyalarning ayrim xossalarini keltirib o‘tamiz.

14. 
    xossa. Multiplikativ funksiyalar uchun quyidagi xossalar o‘rinli:
    

1. 
   ixtiyoriy multiplikativ funksiya uchun 0(1) = 1;
   
2. 
   0 (a) va 0₂(a) multiplikativ funksiyalar bo‘lsin, u holda
   

0_O (a) = 0 (a)0₂ (a) ham multiplikativ funksiya bo‘ladi.
Isbot. a) aytaylik, 0(a_o) ф 0 bo‘lsin, u holda mutiplikativ funksiyaning ikkinchi shartiga asosan
0(a0) = 0(1- a,) = 0(1) -0(a_o),
ya’ni, 0(1) = 1.

2. 
   ravshanki, 0_O (1) = 0 (1)0 (1) = 1. Bundan tashqari, (a, a₂ ) = 1 sonlar uchun:
   

0_O (aa) = 0 (aa )0 (aa ) = 0 (a )0 (a )0 (a )0 (a) = = 01 («102 («1 )0 («2 )02 (^a2 ) = 00 (^a1 )00 (^a2 ).

Bizga 9(a) multiplikativ funksiya va a sonining kanonik ko‘rinishi a = p2p2² ..p2^k berilgan bo‘lsin. ^9(d) orqali a soni-

d\a
ning barcha bo‘luvchilari bo‘yicha olingan yig‘indini belgilaymiz.

15. 
    xossa.
    

^9(d) = (1 + e(p_x) +... + 9(p2kk •... • (1 + 9( p_k) +... + 9( p2²)). (38.1)
d\a
Isbot. Xossani isbotlash uchun (38.1) tenglikning o‘ng tomonini ochib chiqamiz. U holda yig‘indi hadlari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
9( p?) •9( p"²) •... •9( pkk = 9(pk k •... • pk), bu yerda 0 < Д < 2, 0 < Д₂ < 2, .,0 2.
Ushbu p^k • p₂² •... • p"^k sonlar a sonining barcha bo‘luvchilarini beradi, hamda yig‘indida hech bir had ikki marta takrorlanmaydi, demak tenglikning o‘ng tomoni aynan chap tomoniga teng. □
Ushbu xossadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.

16. 
    natija. a = p² • p² •...• p² sonining bo‘luvchilari soni quyidagiga teng:
    

⁽¹ + ²₁⁾ •⁽¹ + ²₂⁾ •... •⁽¹ + 2 ⁾.
Isbot. 38.6-xossani 9(a) = 1 multiplikativ funksiya uchun qo‘llasak, (38.1) tenglikning chap tomoni a sonining bo‘luvchilari sonini, o‘ng tomoni esa (1 + 2)• (1 + 2)•...• (1 + 2) ifodani beradi.

17. 
    natija. a = p² • p²,² •...• pl^k sonining bo‘luvchilari yig‘indisi quyidagiga teng:
    

2+1 -1 2+1 л 2+1-1
p^{2 -1} p2 ^-1 p.^{2 -1} p1 ^-1 p₂ ^-1 ". pk ^-1 .
Isbot. 38.6-xossani 9(a) = a multiplikativ funksiya uchun qo‘llasak, (38.1) tenglikning chap tomoni a sonining bo‘luvchilari


263

a+1 -I a+1 a+1 i

^ . p? — 1 p₂² — 1 p_k^k — 1 .. , .
yig indisini, o ng tomoni esa — ² ...• —^k ifodani
P1 ^{— 1} P2 ^{— 1} Pk ^{— 1}
beradi. □
a sonining bo‘luvchilari sonini r(a), bo‘luvchilari yig‘indisi esa S (a) kabi belgilanadi.
Misol 38.4. 720 sonining bo‘luvchilari soni va bo‘luvchilari yig‘indisini toping.
t(720) = r(2⁴ • 3² • 5) = (4 +1) • (2 +1) • (1 +1) = 30;
2⁴+¹ _— 1 3²+¹ _— 1 5¹+¹ _— 1
S(720) = S(2⁴ • 3² • 5) = ^{2 1} •^{3 1} •^{5 1} = 2418.

3. 
   — 1 3 — 1 5 — 1
   

1. 
   ta’rif. Musbat sonlar ustida aniqlangan, hamda a soniga
   

2. 
   .., a — 1
   

sonlar ichida a bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar sonini mos qo‘yuvchi funksiya Eyler funksiyasi deyiladi. Eyler funksiyasi (p(a) kabi belgilanadi.
Misol 38.5.
p(1) = 1, p(2) = 1, p(3) = 2, p(4) = 2, p(5) = 4, p(6) = 2.
Eyler funksiyasining qiymatini berilgan a sonining
a = p^a • p^¹ •...• p^a_k^k kanonik yoyilmasidan foydalanib, hisoblaydigan formula keltiramiz.

19. 
    tasdiq. p(a) = a
    

1—
V P2 J


1 —-1
. Pk,


1
V P1 J
Isbot. Avval a tub son bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni a = p biror tub songa teng bo‘lsin. U holda p tub son ekanligidan

3. 
   .., p — 1 sonlarni xar biri bilan o‘zaro tub bo‘ladi. Demak, P( P ) = P — 1.
   

Endi a biror tub sonning darajasi ko‘rinishida bo‘lsin ya’ni a = p^a. U holda
^{{1, 2,} 3^,...^,p^{a —1}} \ ^_JP^{, 2}P^{, 3}P^, ...^,(p“^{—1 —1)} • p^} sonlarning barchasi p^a bilan o‘zaro tub, ya’ni p(p^a) = p^a — p^a1.

Aytaylik, a = p • p₂ ko‘rinishda bo‘lsin, bu yerda p_x, p₂ tub sonlar. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda Pj < p₂ deb olib,

{^1,2,...^, p^p 2 ^{- 1}} \ ^_JPl^,2 p_i^,^^₁^,...^,( p2 ^-1) p_l^, P2^,2 P_V³P_V...^,( pi ^-1) .2^} sonlarni qaraymiz. Bu sonlarning barchasi p_xp₂ bilan o‘zaro tub bo‘ladi, ya’ni
p⁽PiP2^k = P1P2 ^- p1 ^- p2 +¹ = ⁽p1 ^-1)(p2 ^{- 1k} = P⁽p1) • P⁽P2k .
Demak, o‘zaro tub bo‘lgan ikkita natural son uchun p( P1P2 k = P( p k • P( P2 k ekanligi kelib chiqdi.
Shuningdek, juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lgan k ta natural son uchun
p⁽p • p₂ •... • p.2 = p⁽p1^k• p⁽p2^k • .. • P⁽Pkk ekanligini hosil qilish mumkin ([3] ga qarang).
Yuqorida berilganlardan foydalanib,
p⁽p? • pi² •... • p2 ^k = p. ^k • p⁽ p7^k •... • p⁽ p^{7 k} =
(p? -рГ')• (p2² -рГ *k •...• (1 -p?^-1k


tenglikni hosil qilamiz, bundan


p(a) = a


\ -
Pi