Algebra va sonlar nazariyasi

1,


agar a kvadratik chegirma bo’lsa,


_ч p j [—1, aksholda.
Yuqoridagi ifodani 41.4-tasdiqdan foydalanib quyidagicha yozish mumkin:


p


p^—1

• 
  a ² (mod p).
  

(41.5)


41.6 -xossa. Lejandr simvoli uchun quyidagilar o‘rinli

1. 
   agar a - a (modp) bo‘lsa, u holda
   

1


b)


= 1;


281

c)

d)


^p


p-i


= (-i)²;


^ai • ^a2 • -• • ^ak p


<sup>p


p


p</sup>


Isbot. Xossaning a) qismi o‘rinli ekanligi ekvivalent sinfdan olingan sonlar bir vaqtda yoki kvadratik chegirma yoki chegirma bo‘lmasligidan kelib chiqadi.
1 kvadratik chegirma bo‘lganligi uchun b) o‘rinli.
Xossaning c) qismi (41.5) munosabatdan a = -1 bo‘lganda kelib chiqadi.
Oxirgi d) xossaning o‘rinli ekanligi quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:


^fai • ^a2 • ••• • ^a_k ^Л
p


p-1


= («•«•...• a)² (modp) =


p-i p-i


p-1


= (« ² • a₂² • ••• • a_k² )(modp) =


<sup>p


p


p</sup>


41.7-natija.


Lejandr simvolining keyingi xossalarini keltrirish uchun quyidagi belgilashlarni kiritib olamiz.
p - *
p* = deb belgilab, quyidagi taqqoslamalarni qaraymiz.


a • 1 = s_x • r (mod p),
a • 2 = s₂ • r (mod p),
,
^a • p* ^^sft • ^гл^(mod p)-


(41.6)


bu yerda s_t • r_k soni a • k sonining p modul bo‘yicha absolyut qiymati eng kichik bo‘lgan chegirmasi, ya’ni s_k=±1 va 1 < r_k < p_x.


k

1 a	+ 2-1^a •^k 11	— 2 -	1 _	+	2-I ^a -^k 11
p J	l p J		L p J		l p J

Bu tenglikdan ko‘rinadiki, ushbu ifodaning juft yoki toq son bo‘lishi a - k sonining p modul bo‘yicha eng kichik musbat chegir-


masi 1 p dan kichik yoki katta ekanligi bilan aniqlanadi. Ma’lumki,


agar eng kichik musbat chegirma — p dan kichik bo‘lsa s_k — 1, aks


283

_r2ak.

holda s=-1 bo‘ladi. Demak, s_k= (-1)


Bundan esa,


p


2ak
= (-1)^k=‘ ^p kelib chiqadi.


41.10-natija. Isbot.


= (-1)


p 1
^[⁽¹+ p^)kj


* It * * l
£[-]+£* £к p*(p*+i) p ^-1
V=1 ^p _r_1V=i ^ k=i _ 1V-1 -r_n 2 _ r_n 8


= (-1) ^k=* ' = (-1) ^k=*' ^k=* = (-1) ^k=* = (-1) ² = (-1)


p


p -1


2


V


У V


У


Agar 41.10-natija isbotidagi mulohazalarni ixtiyoriy 2a (bu yerda a toq son) juft son uchun qo‘llasak, u holda


p


^pl ;
в ^ ]
=(-i)^k=*^p


(41.7)


tenglikka ega bo‘lamiz.
41.11 -xossa. p va q juft bo‘lmagan tub sonlar uchun quyidagi
tenglik o‘rinli
p^-1 q^-1
= (-1)² ^ ².


Isbot. q* =


q ^-1 2


^p


kabi belgilab, quyidagi (q • k,p • t) juftliklarni


qaraymiz, bu yerda к = 1, 2,..., p_x va t = 1, 2,..., ^.
Ma’lumki, k va t laming hech qanday qiymatida q • k va p • t sonlar teng bo‘lmaydi. Aytaylik, q • k < p • t shartni qanoatlantiruvchi juftliklar soni S, q • k > p • t shartni qanoatlantiruvchi juftliklar soni

esa S₂ bo‘lsin. S va S₂ sonlarining qiymatini topish qiyin emas,

p _- t
chunki Sj son k < bo‘lgan (k, t) juftliklar soniga teng, ya’ni
q
_rp ^{- t}T


S1—].
1—1 q


^p1


Xuddi shunga o‘xshab, S₂ — k[ ~~]. Bundan esa, (41.7)
tenglikka ko‘ra,


k—1 p
f

• 
  (-1)^S1,
  

p.


— (-1Г.


Demak,


( r,\ ( p\


p.


— (-1)^S1+ — (-1)^q1-p1 — (-1)


p^-1 q^-1
2 2


Yakobi simvoli. Endi Yakobi simvoli tushunchasini aniqlaymiz. Yakobi simvoli Lejandr simvolining umumlashmasi hisoblanib, quyidagicha aniqlanadi.

12. 
    ta’rif. Birdan katta P toq soni uchun P = p - p₂ -... - p_r bo‘lsin, bu yerda p, p₂,..., p_r tub sonlar bo‘lib, ular orasida o‘zaro tenglari bo‘lishi ham mumkin.
    

Berilgan P soni bilan o‘zaro tub a soni uchun quyidagi tenglik yordamida aniqlangan son Yakobi simvoli deyiladi:


pi


p 2


p_r


Lejandr simvolining yuqoridagi xossalaridan foydalanib, Yakobi
simvolining xossalarini keltiramiz.
41.13-xossa.

1. 
   agar a = a (mod P) bo‘lsa, u holda ^ a ^j \ a1 'j;