Evklid fazolari. Evklid fazosida ortonormal bazis qurish

Evklid fazolari. Evklid fazosida ortonormal bazis qurish

Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir. 1.1-ta’rif. Bizga L haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar L×L dekart ko‘paytmada aniqlangan p funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko‘paytma deyiladi: 1) p(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ L; p(x, x) = 0 ⇐⇒ x = θ; 2) p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ L ; 3) p(αx, y) = αp(x, y), ∀α ∈ R , ∀x, y ∈ L; 4) p(x1 + x2, y) = p(x1, y) + p(x2, y), ∀x1, x2, y ∈ L. 1.2-ta’rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va x, y elementlarning skalyar ko‘paytmasi (x, y) orqali belgilanadi. Evklid fazosida x elementning normasi ǁxǁ = √(x, x) (7.1) formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi.

Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi |(x, y)| ≤ ǁxǁ · ǁyǁ (7.2) tengsizlikdan kelib chiqadi. Endi (7.2) tengsizlikni, ya’ni Koshi–Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. λ ∈ R ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz: φ (λ) = (λx + y, λx + y) = λ2 (x, x) + 2λ (x, y) + (y, y) = = λ2 ǁ x ǁ2 + 2λ (x, y) + ǁ y ǁ2 . Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya’ni D = 4 [(x, y)]2 − 4 ǁxǁ2 · ǁyǁ2 ≤ 0 .  

1.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy α =/ β da (xα, xβ) = 0 bo‘lsa, u holda nolmas {xα} vektorlar sistemasiga ortogonal sistema deyiladi. Agar bu holda har bir elementning normasi birga teng bo‘lsa, {xα} ortogonal normalangan sistema, qisqacha ortonormal sistema deyiladi. Agar {xα} vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda {xα} chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham, α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = θ bo‘lsin. Bu tenglikning ikkala qismini xi ga skalyar ko‘paytirib, quyidagiga ega bo‘lamiz (xi, α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn) = αi (xi, xi) = 0, i = 1, 2, . . . , n (xi, xi) /= 0 bo‘lgani uchun, barcha i ∈ {1, 2, . . . , n} larda αi = 0 bo‘ladi.

1.4-ta’rif. Agar {xα} sistemani o‘zida saqlovchi minimal yopiq qism fazo E fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda {xα} sistema to‘la deyiladi. 1.5-ta’rif. Agar {xα} ortonormal sistema to‘la bo‘lsa, u holda bu sistema E fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi.