Algebra va sonlar nazariyasi

= {x eV I (x, e₂) = 0} orqali belgilasak, bu to‘plam (n - 2) o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Bu jarayonni davom ettirish natijasida

v^ V ^ V ^... ^ v .
1 2 n—1
invariant qism fazolarni hosil qilamiz.
Bu invariant qism fazolaming e, e₂,..., e xos vektorlari juft- jufti bilan ortogonal bo‘lgan n ta xos vektorlarni beradi.
Demak, n o‘lchamli Yevklid fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma A chiziqli almashtirish n ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega. Bundan tashqari, 31.1-lemmaga asosan, ularga mos keluvchi xos sonlar haqiqiydir. Xos vektor bilan noldan farqli xar qanday sonning ko‘paytmasi yana xos vektor bo‘lganligi uchun, e vektorlarning uzunliklarini 1 ga teng qilib tanlab olish mumkin.

7. 
   teorema. Aytaylik, A almashtirish n o‘lchamli fazoda o‘z- o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish bo‘lsin. U holda shunday
   

209

ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda A almashtirishning matritsasi diagonal shaklga kelib, elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘ladi. Va aksincha, agar biror ortonormal bazisda A almashtirishning matritsasi diagonal shaklda va elementlari haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda A o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish bo‘ladi.

Isbot. Dastlab, teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. 31.3- teoremaga ko‘ra, o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan e, e₂, •••, e xos vektorlarga ega. Bu xos vektorlarni bazis sifatida tanlab olsak,
Ae1 = Ae,