Algebra va sonlar nazariyasi

Ae₂ = A2e₂,


Ae = A e
n n n
bo‘lganligi uchun A almashtirishning ushbu bazisda matritsasi
fX о ••• о ^
о a ••• о

• 
  ^{0 0} ••• ^An J
  

(31.1)


ko‘rinishga keladi. O‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishning xos sonlari haqiqiy sonlar bo‘lganligi uchun X lar haqiqiydir.
Aksincha, biror ortonormal bazisda A almashtirishning matritsasi (31.1) ko‘rinishda bo‘lsin. Ma’lumki ortonormal bazisda o‘z-o‘ziga qo‘shma A* almashtirishning matritsasi A almashtirish matritsasidan uni transponirlash va xar bir elementini qo‘shma kompleks son bilan almashtirish orqali hosil bo‘ladi.
Bu operatsiyalarni (31.1) ko‘rinishdagi matritsaga qo‘llasak, barcha X sonlarning haqiqiy ekanligidan shu matritsaning o‘zini hosil
qilamiz. Demak, A hamda A* almashtirishlarga bitta matritsaning o‘zi to‘g‘ri keladi, ya’ni A = A*.
O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish xos vektorlarining yana bir xossasini keltiramiz.

8. 
   tasdiq. O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishning turli xos qiymatlariga mos bo‘lgan xos vektorlari o‘zaro ortogonaldir.
   

Isbot. Darhaqiqat, agar Ae = \e_x, Ae₂ = Xe₂ bo‘lib, X^A bo‘lsa,
(Ae, e2) = (e, A‘e₂) = (e, Ae2)
tenglikdan
^{X (e}1^{, e}2⁾ = ^2^(e1^{, e}2⁾
yoki
(X -4)(e, e2) = 0
kelib chiqadi. X ^ X bo‘lganligi uchun (e_x,e₂) = 0^
Unitar almashtirishlar. Endi moduli bo‘yicha 1 ga teng bo‘lgan kompleks sonlarning analogi hisoblangan unitar almashtirish tushunchasini kiritamiz.

9. 
   ta’rif. Agar A chiziqli almashtirish uchun AA* = A*A = E bo‘lsa, u holda A almashtirish unitar chiziqli almashtirish deyiladi.
   

Boshqacha aytganda, unitar almashtirishlar A* = A^_1 shart bilan aniqlanadi.
O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlardan farqli ravishda, ikkita unitar almashtirishlarning ko‘paytmasi yana unitar almashtirish bo‘ladi. Haqiqatan ham,
(AB)( AB) = (AB)( B* A*) = A( BB*) A* = AEA* = AA* = E.
Xuddi shu kabi (AB)*(AB) = E tenglik ham o‘rinli.
Unitar almashtirishlar quyidagicha geometrik ma’noga ega. Xar qanday U unitar almashtirish n o‘lchamli V Yevklid fazosida skalyar ko‘paytmani saqlaydi, ya’ni ixtiyoriy x, y eV uchun (Ux, Uy) = (x, y)•
Aksincha, skalyar ko‘paytmani saqlovchi xar qanday U chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, agar U*U = E bo‘lsa, u holda (Ux, Uy) = (x, U *Uy) = (x, Ey) = (x, y)
Agar xar qanday x va y vektorlar uchun (Ux,Uy) = (x, y)
bo‘lsa, u holda


211

(x, Ey) = (x, y) = (Ux, Uy) = (x, U *Uy).

Bichiziqli formalarning tengligidan mos almashtirishlar tengligi kelib chiqadi, shuning uchun UU = E, ya’ni U unitar almashtirish.
Xususiy holda x = y bo‘lganda, (U*x,Ux) = (x,x) tenglik unitar, almashtirishlar vektorning uzunligini o‘zgartirmasligini bildiradi.
Chiziqli almashtirishning unitar almashtirish bo‘lish shartini uning matritsasi orqali ifodalaymiz. Buning uchun biror e, e₂,..., e ortonormal bazis olib, bu bazisda U almashtirishning matritsasini yozamiz:


a , a - ... a
n,1 n,2 n


(31.2)


U holda U* qo‘shma almashtirishning e, e₂,..., e bazisdagi matritsasi


4,1 ^a2,1


a a,
у 1,n 2,n


a 1 ^
n,1


(31.3)


ko‘rinishida bo‘ladi.
Chiziqli almashtirishning UU* = E unitarlik sharti (31.2) va

3. 
   matritsalar ko‘paytmasi birlik matritsaga teng bo‘lishini bildiradi. Agar ularni ko‘paytirib, ko‘paytma elementlarini birlik matritsaning mos elementlariga tenglasak,
   

L^a„s^a„s ^=1, Tf,,s^ak ,s^,(i * ^k)


(31.4)


munosabatlarga ega bo‘lamiz. Demak, ortonormal bazisda UU* = E shart chiziqli almashtirish matritsasining biror satr elementlari bilan


s=1


s=1




boshqa yo‘l elementlari qo‘shma elementlariga ko‘paytmalarining yig‘indisi nolga teng, har qanday satr elementlari modullarining kvadratlari yig‘indisi esa 1 ga teng ekanligini bildiradi.
Ikkinchi tomondan esa, U*U = E shartdan
n n
Z^asA,- =^1, Z^as,,^as,k^{, (i} * ^{k) (315)}
s=1 s=1
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu tengliklar (31.4) tenglikka o‘xshash bo‘lib, bunda matritsaning yo‘llari o‘rnida uning ustunlari qatnashadi.
Unitar almashtirishlarning geometrik ma’nosi shundan iboratki, chiziqli almashtirish unitar almashtirish bo‘lishi uchun u ortonormal bazisni yana ortonormal bazisga o‘tkazishi zarur va yetarlidir. Haqiqatan ham, a, e₂, •••, a ortonormal basizda Ue. = a a + a A? + ••• + a„e„, 1 < i < n
, 1,i 1 2,i 2 n,i n~
bo‘lsin. U holda
n
^(Uei ^,Uek ⁾ = ^(a1,i^e1 + ••• + ^an,i^en^{, a}1,k^e1 ⁺ ••• ^{+ a}n,k^en ⁾ = Z ^asAj •
s=1
Yuqoridagi (31.5) tengliklardan esa,