Algebra va sonlar nazariyasi

(Ax, y) = A( x, y) = (x, A*y) tenglikka ega bo‘lamiz.
30.4 -xossa. Chiqiziqli almashtirishning qo‘shma almashtirishi chiziqli almashtirishlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:

1. 
   (AB)” = B*A;
   
2. 
   (A * )* = A;
   
3. 
   (A + B) * = A + B*;
   
4. 
   (AA) * = A A *;
   
5. 
   E * = E.
   

Bu xossalarning ikkitasini isbotini keltiraylik.


205

Isbot. a) (ABx, y) = (Bx, A*) = (x, B*Ay). Ammo ikkinchi tomondan (AB)* ta’rifiga muvofiq (ABx, y) = (x,( AB)* y)

Chiziqli almashtirishning mos bichiziqli forma bilan bir qiymatli aniqlanishini hisobga olib, bu tengliklarning o‘ng tomonlarini taqqoslasak (AB) * = B* A* kelib chiqadi.

2. 
   Qo‘shma almashtirish ta’rifiga muvofiq (Ax,y) = (x,A*y) A* ni vaqtincha C bilan belgilaymiz. U holda (Ax, y) = (x,Cy), bundan
   

(y, Ax) = (Ax, y) = (x, Cy) = (Cy, x) tenglik kelib chiqadi. Ushbu tenglikda y ni x bilan, x ni esa y bilan almashtirsak
(Cx, y) = (x, Ay)
ifoda hosil bo‘ladi. Demak, C *= A va C = A * bo‘lganligi uchun
(A * )*= A.

28. 
    - §. O‘z-o‘ziga qo‘shma, unitar va normal chiziqli almashtirishlar
    

O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar. Biz avvalgi mavzuda qo‘shma chiziqli almashtirish tushunchasini kiritib, A chiziqli almashtirishga qo‘shma almashtirishni A* kabi belgiladik. Chiziqli almashtirishni uning qo‘shmasiga o‘tkazuvchi * operatsiyasi, ma’lum darajada berilgan kompleks sonni uning qo‘shmasiga o‘tkazuvchi operatsiyasiga o‘xshashdir.
Bu o‘xshashlik tasodifiy bo‘lmasdan, kompleks sonlar maydonida birinchi tartibli matritsalar uchun, ya’ni kompleks sonlar uchun * operatsiyasi berilgan sonni qo‘shma kompleks son bilan almashtirishning xuddi o‘zidan iborat.
Barcha kompleks sonlar orasida haqiqiy sonlar a=a xossa bilan xarakterlangani kabi, chiziqli almashtirishlar uchun ham shunga o‘xshash tushunchani aniqlash mumkin.

1. 
   ta’rif. Agar A chiziqli almashtirish uchun A* = A shart
   bajarilsa, u holda A o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish deyiladi.
   
2. 
   tasdiq. A chiziqli almashtirish o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi
   uchun, A(x, y) = (Ax, y) bichiziqli forma uchun A(x, y) = A(y, x)
   bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Haqiqatan, ham
(Ax, y) = A(x, y) = A(y, x) = (Ay, x) = (x, Ay).
□
Ma’lumki ixtiyoriy kompleks sonni v = a + ifi ko‘rinishida
tasvirlash mumkin. Shunga o‘xshab, ixtiyoriy A chiziqli
almashtirishni o‘z-o‘ziga qo‘shma A va A almashtirishlar orqali
A = A + A
ko‘rinishida tasvirlash mumkin.
Buning uchun
, A + A* A - A*
A = + i -


2 2i
deb olib, A = ^A +^A , A =^A—^A kabi belgilasak, A va A 2 2i
almashtirishlar o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘ladi. Haqiqatan ham,
f A + A* Y 1 1 1
= _(A + A* )* = —(A* + A**) = ¹(A* + A) = A 2 2 2 2


va


A= = (A - A* )* = (A*-A**) = (A*-A) = A.
^ 2i J 2i 2i 2i
Shunday qilib, haqiqiy sonlar maydoni kompleks sonlar orasida qanday rol o‘ynaydigan bo‘lsa, o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar ham barcha chiziqli almashtirishlar orasida xuddi shunday rol o‘ynashini ko‘rsatdik.
Ammo, kompleks sonlar maydonidagi xossalarga o‘xshash hamma xossalar xam o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar uchun o‘rinli bo‘lavermaydi. Masalan, ikkita o‘z-o‘ziga qo‘shma


207




chiziqli almashtirishlarning ko‘paytmasi xar doim ham o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish emas. Quyidagi teoremada bu savolga to‘liq javob beramiz.

3. 
   teorema. A va B o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar bo‘lsin. AB almashtirish ham o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun AB = BA tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
   

Isbot. A va B chiziqli almashtirishlar o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligidan
(AB)* = B* A* = BA
Demak, (AB)* = AB tenglik faqat AB = BA bo‘lgan holdagina bajariladi.
Endi n -o‘lchamli V kompleks Yevklid fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlarning xos son va xos vektorlarini o‘rganamiz.

4. 
   lemma. O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishning xos qiymatlari haqiqiy sonlardir.
   

Isbot. Aytaylik, x Ф 0 vektor o‘z-o‘ziga qo‘shma A almashti­rishning xos vektori va A soni xos qiymati bo‘lsin, ya’ni Ax = Ax
A* = A bo‘lganligi uchun,
(Ax, x) = (x, A x) = (x, Ax)
ya’ni,
(Ax, x) = (x, Ax)
Bundan esa A(x,x) = A(x,x) tenglik hosil bo‘ladi. (x,x) ^ 0 bo‘lganligi uchun, A = A^

5. 
   lemma. Aytaylik, e vektor o‘z-o‘ziga qo‘shma A chiziqli almashtirishning xos vektori bo‘lsin. V = {x e V | (x,e) = 0} to‘plam A almashtirishga nisbatan (n -1) o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
   

Isbot. Ma’lumki, e ga ortogonal bo‘lgan vektorlardan tashkil topgan V to‘plam n -1 o‘lchamli qism fazo tashkil qiladi. Endi V qism fazoni A ga nisbatan invariant ekanligini ko‘rsatamiz.

Aytaylik, x е V bo‘lsin, ya’ni (x,e) = 0. Berilgan e vektor xos vektor bo‘lganligi uchun Ae = he. Bularni hisobga olib, A chiziqli almashtirishning o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligidan foydalansak,

(Ax, e) = (x, Ae) = (x, Ae) = (x, Ae) = A( x, e) = 0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (Ax,e) = 0 ya’ni Ax e V. ^

6. 
   teorema. n o‘lchamli Yevklid fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma A chiziqli almashtirish n ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega.
   

Isbot. Bizga 29.3-teoremadan ma’lumki, ixtiyoriy chiziqli almashtirish n o‘lchamli V Yevklid fazosida kamida bitta xos vektorga ega. Aytaylik, e eV vektor A almashtirishning xos vektori bo‘lsin. 31.5-lemmaga asosan, V = {x eV | (x, e ) = 0} to‘plam (n -1) o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Endi A almashtirishni faqat V fazoda qaraymiz. Yuqoridagi mulohaza orqali V fazoda e₂ xos vektor mavjud. V dagi e₂ ga ortogonal vektorlar to‘plamini

•