Algebra va sonlar nazariyasi

Demak, ikki o‘lchamli fazodagi A xosmas ortogonal
almashtirishning e, e₂ bazisdagi matritsasi
X 0 ^


XX=-1


'2 У


ko‘rinishda bo‘ladi.
Bundan esa matritsani faqat ushbu
г 1 0^ Г-1


0 -1


0


kanonik ko‘rinishlardagina tasvirlanishi mumkinligi kelib chiqadi.

7. 
   teorema. A almashtirish n o‘lchamli V Yevklid fazosida ortogonal almashtirish bo‘lsin. V da shunday e, e,-., e ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda A almashtirishning matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
   

г 1


-1


-1


cos^ - sm^ sin^ cos^j


cos^ - sm^ sin^ cos^


bu yerda yozilgan elementlardan boshqa barcha elementlar nolga teng.

Isbot. 32.1-teoremaga muvofiq, V fazodan bir yoki ikki o‘lchamli V' invariant qism fazoni tanlab olish mumkin. Agar bir o‘lchamli V' invariant qism fazo mavjud bo‘lsa, u holda e orqali undagi uzunligi 1 ga teng bo‘lgan vektorni belgilaymiz va A almashtirish uchun Ae = ±e o‘rinli bo‘ladi.

Agar bir o‘lchamli invariant qism fazo mavjud bo‘lmasa, ikki o‘lchamli qism fazoni olamiz va e, e vektorlar orqali undagi ortonormal bazisni belgilaymiz. Ma’lumki, ikki o‘lchamli V' qismfa- zodagi ortogonal almashtirish xos almashtirish bo‘ladi, aks holda V' da bir o‘lchamli invariant qism fazo mavjud bo‘ladi.
Demak, V' da A almashtirishning matritsasi


ko‘rinishga keladi.
Ushbu V qism fazoning barcha vektorlariga ortogonal bo‘lgan vektorlardan tuzilgan V' to‘plami yana invariant qism fazo bo‘ladi. Buni ko‘rsatish uchun V' ikki o‘lchamli bo‘lgan holni ko‘rsatish kifoya. Bir o‘lchamli bo‘lgan hoi 32.4-lemmaga asosan kelib chiqadi. Ixtiyoriy x g V' va у e V vektorlar (x, y) = 0 ekanligidan


kelib chiqadi.
Ixtiyoriy z eV' elementni z = Ay, y eV' ko‘rinishida yozish mumkinligi uchun, barcha zeV' lar uchun (Ax, z) = 0 ekanligiga ega bo‘lamiz, ya’ni Ax e I . Demak, V' invariant qism fazo.
Ma’lumki, V' fazo o‘lchami dim(F') = l bo‘lganida n-1 ga, dim(P) = 2 bo‘lganda esa, n-2 ga teng bo‘ladi. V' fazo invariant qism fazo bo‘lganligi uchun, u ham yana bir yoki ikki o‘lchamli invariant qism fazoga ega. Endi yuqorida V fazo uchun yuritilgan mulohazalami V' fazo uchun takrorlaymiz.
Bu jarayonni davom ettirib, chekli qadamdan so‘ng n ta juft- jufti bilan ortogonal, uzunliklari 1 ga teng bo‘lgan vektorlarni hosil





(Ax, Ay) = (x, y) = 0


231

qilamiz. Ularni V fazoning bazisi deb qabul qilsak, ushbu bazisdagi almashtirish matritsasi quyidagi ko‘rinishga keladi:

1
—1
—1
cosp — sinp sin p cos p
cosp — sinp
_v sin p cos p у
Bunda diagonaldagi 1 va —1 ko‘rinishidagi kataklar bir o‘lchamli invariant qism fazoga,
^ cosp — sinp^
_v ^sinp ^cosp у
ko‘rinishdagi kataklar esa ikki o‘lchamli invariant qism fazoga mos keladi.

28. 
    - §. Chiziqli almashtirishning Jordan normal shakli
    

Ushbu mavzuda kompleks fazoda berilgan ixtiyoriy almashtirish uchun uning matritsasini birmuncha sodda ko‘rinishga keltiruvchi bazisni ko‘rsatamiz.
Aytaylik n o‘lchamli kompleks fazoda A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lsin. Agar A chiziqli almashtirish n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lsa, bu xos vektorlani bazis sifatida tanlab, chiziqli almashtirish matritsasi diagonal shaklga keltiriladi. Chiziqli

almashtirishning chiziqli erkli xos vektorlari soni n dan kichik bo‘lsa, uning matritsasi diagonal shaklga yaqin bo‘lgan normal shaklga keltiriladi.

Ta’kidlash joizki, n o‘lchamli kompleks fazodagi A chiziqli almashtirish turli hil к ta \, К,..., \ xos qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda A almashtirish к tadan kam bo‘lmagan chiziqli erkli xos vektorlarga ega. Umuman olganda, chiziqli erkli xos vektorlar soni turli xos qiymatlar sonidan katta bo‘lishi mumkin.

1. 
   teorema. n o‘lchamli kompleks fazoda ixtiyoriy A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lib, \, К,..., \ uning xos sonlari va bu xos sonlarga mos keluvchi m(m > к) ta e, f,. ., К xos vektorlar bo‘lsin.
   

U holda
^ ^e2^,...^{, e}p;^f^ ^f2^,...^{, f}_q; ; К К...^, К ⁽³³¹⁾
vektorlardan iborat bazis mavjudki, A almashtirish
^Ae1 = xel^{, Ae}2 = ^e1 +^xl^e2^,...^{, Ae}p = ^ep—1 +4^ep^,
Af1 = 4^f1^{, Af}2 = ^f1 + ^Л2^f2^, ...^{, Af}q = ^fq—1 + ^X2^f₄ ^, _{(33 2)}
,
Ah = \ h, ah₂ = к + К К,..., Ah = h_i + \ h
ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu teoremani isbotlashdan avval (33.2) ko‘rinishidagi chiziqli almashtirishlarning xossalarini o‘rganib chiqamiz. Ravshanki, (33.2) ko‘rinishidagi chiziqli almashtirish e , e , ... , e vektorlarni yana shu
vektorlarga o‘tkazadi. Xuddi shunday boshqa bazis vektorlar jamlanmasi ham shu vektorlarga o‘tkazadi. Demak, bazis vektorlarning xar bir jamlanmasi A almashtirishga nisbatan invariant qism fazo tashkil qiladi.
Bundan tashqari, xar bir qism fazoda bittadan xos vektor bor. Masalan, e, e,..., ^ vektorlarga tortilgan qism fazoda e vektor xos
vektor bo‘ladi. Endi bu qism fazolarning xar birida faqat bitta xos


233

vektor bor ekanligini ko‘rsataylik. Haqiqatdan ham, agar e, e,. ., ^e_P bazis vektorlardan tuzilgan qism fazoda biror c_le_l + c₂e₂ +... + ce vektor xos vektor bo‘lsa, u holda