Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari

XOS VEKTORLARI BAZIS TASHKIL QILUVCHI CHIZIQLI OPERATORLAR. CHIZIQLI OPERATORNING XOS SON VA XOS VEKTORLARI
Reja:

• Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar
• Chiziqli operatorning xos vektorlari basis tashkil qilishining etarli sharti

Tayanch soʻz va iboralar; Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi operator

Rn fazodagi eng sodda chiziqli operatorlar shunday operatorlarki, ular n ta chiziqli erklli vektorga ega.
Haqiqatan, T : Rn  Rn operator chiziqli erkli e1, e2 ,..., en  vektorlarga ega boʻlgan operator boʻlsin. Shu vektorlarni bazis uchun qabul qilamiz. U holda

T (e1 )  1 e1,
T (e2 )  2 e2 , 


T (en )  n en , 
ur ur 
L L L L L L 
ur ur
0 0 

. 
.
0
 

bunda 1,2 ,K ,n sonlar T operatorning e1, e2 ,..., en  xos vektorlariga mos kelgan xos qiymatlari.
Bundan e1, e2 ,..., en  xos vektorlar tashkil qilgan bazisda T operatorning matritsasi ushbu eng sodda, diagonal koʻrinishga
ega boʻladi:
1 0 K 0 
 K
2
. ...
0 K
n 
A  
(4.1)

Aksincha, agar biror e1, e2 ,..., en  bazisda T operatorga bunday dioganal matritsa mos kelsa, u holda e1, e2 ,...,en

• bilan har xil sonlar boʻlsa, bu xos qiymatlarga mos keluvchi e1, e2 ,K , es xos vektorlar chiziqli erkli boʻladi. Xususan, agar (s  n)
• boʻlsa, e , e ,K , e xos vektorlar Rn da bazis tashkil qiladi.
• 1 2 n
• Isbot. Isbotni induksiya metodi bilan olib boriladi. s 1 da tasdiqning toʻgʻriligi ravshan. Tasdiq s 1 ta vektor uchun oʻrinli deb faraz qilamiz va uni s ta vektor uchun isbotlaymiz. Agar s ta vektor uchun tasdiq toʻgʻrimas deb faraz qilinsa, u holda R da hammasi bir vaqtda nolga teng boʻlmagan va
• 1 e1   2 e2 K  s es  0 (*)
• munosabatni qanoatlantiruvchi
• 1, 2 ,K , s
• sonlar topiladi. Aniqlik uchun 1  0 deb faraz qilaylik. oxirgi tenglikka T operatorni qoʻllanib, quyidagini topamiz:
• T (1e1   2 e2 K  3 e3 )  T (0)  0,
• ammo
• T (1e1   2 e2 K  s es )  11e1   22 e2 K  ss es
• va shuning uchun
• 11 e1   22 e2 K  ss es  0
• Agar oxirgi tenglikdan (*) tenglikni s ga koʻpaytirib ayirilsa, ushbuga ega boʻlamiz:
• 1(1  2 )e1   2 (2  s )e2 K  s1(s1  s )es1  0,

vektorlar T ning xos vektorlari, 1, 2 ,K , n esa operatorning e1,e2 ,K ,en vektorlariga mos keladigan xos qiymatlaridir.
Haqiqatan, A matritsaning xossasidan uning ustunlari T (e1 ),T (e1 ),K ,T (en ) vektorning e1, e2 ,K , en bazisdagi komponentlaridan iboratligi kelib chiqadi. Shu sababli
T (e1 )  1 e1,T (e2 )  2 e2 ,K ,T (en )  n en .
Shuning oʻzi aytilgan tasdiqni isbotlaydi.
1 2 3