А. А. Самарский, А. В. Гулин

систем линейных алгебраических уравнений
1. Основная идея метода. 
В ближайших двух главах рассмат­
риваются численные методы решения системы линейных алгебраи­
ческих уравнений
Ax = f,
(1)
где 
А
— вещественная квадратная матрица порядка 
т,
a f — за­
данный и х — искомый векторы. Будем предполагать, что опреде­
литель матрицы 
А
отличен от нуля. Тогда для каждого вектора 
f
система (1) имеет единственное решение.
Запишем систему (1) в развернутом виде
а
1\х 1 + ^ 12*2 + . . . +
OimXni
=
f l ,
@2lXl
”1“ 
@22Х2
" • • • 
Щ.-ЛД; = /
2
, 
(2)
@mixi
“Б 
®тгх2 
@ттхт
— 
[:п
■
Метод Гаусса решения системы (2) состоит в последовательном 
исключении неизвестных 
х и хг, 
. . . ,
хт
из этой системы. Предполо­
жим, что 
ап фО.
Поделив первое уравнение на 
ап,
получим
Xi + cizx
z-1
---- bCimXm = i/,, 
(3)
где
Cii =
— , / = 2, . . . , m, 
i/i = — .
« И
«11
4 9

---

Рассмотрим теперь оставшиеся уравнения системы (2):
ciiiXi + a,-2хг+
. . . + a{mxm=fi,
г = 2, 3, . . . ,
т.
(4)
Умножим (3) на а,-, и вычтем полученное уравнение из i-ro урав­
нения системы (4), 
i =
2, 
т.
В результате получим следующую
^систему уравнений:
Х 1
+
с \ г х г
+ ■ . . +
С ц - Х /
+ . . . +