А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 2. Условия применимости метода Гаусса
1. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители.
В предыдущем параграфе было показано, что метод Гаусса преоб­
разует исходную систему уравнений
A x = f
(1)
в эквивалентную систему
Сх=у,
(2)
где 
С
— верхняя треугольная матрица с единицами на главной диа­
гонали. Выясним теперь, как связаны между собой векторы правых 
частей 
f
и 
у.
Для этого обратимся к формулам (16) из § 1, из ко­
торых последовательно получим
fi
=
au ylt U
=
ап уг
+
а%у2, . . .
и вообще
fj=bjly l-1rb]2y2+ . . . + bSjyh 
j=
1, 2, . . . .
т,
(3)
Б4

---

где 
— числовые коэффициенты, причем 
Соотношения
(3) можно записать в матричном виде
f = By,
(4)
где 
В
— нижняя треугольная матрица с элементами 
/ =
= 1, 2, 
т , (а<®> = аи) на главной диагонали. Напомним, что ос­
новное допущение при формулировке метода Гаусса состояло в том, 
что все 
a<
-jrl)
0. Поэтому на диагонали матрицы 
В
стоят ненуле­
вые элементы, и, следовательно, матрица 
В
имеет обратную.
Подставляя в уравнение (2) выражение для 
у
в виде 
y = B~lf,
приходим к уравнению
Cx=B~'f,
или, что то же самое, к уравнению
BCx = f.
(5)
Сопоставляя (5) с уравнением (1), приходим к выводу, что в ре­
зультате применения метода Гаусса получено разложение исход­
ной матрицы 
А
в произведение 
А = ВС,
где 
В
— нижняя треуголь­
ная матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали и 
С
— верхняя треугольная матрица с единичной главной диаго­
налью.
Теперь мы имеем право трактовать метод Гаусса следующим 
образом. Пусть заданы матрицы 
А
и вектор 
f.
Сначала проводится 
разложение 
А
в произведение двух треугольных матриц, 
А = ВС.
Затем последовательно решаются две системы уравнений
в у = 1
(6)
Сх=у
(7)
с треугольными матрицами, откуда и находится искомый вектор 
х.
Разложение 
А = ВС
соответствует прямому ходу метода Гаусса, 
а решение системы (6) — (7) — обратному ходу. Заметим, что в 
алгоритме, изложенном в § 1, разложение 
А = ВС
и решение си­
стемы (6) проводится одновременно.
Далее, следуя стандартным обозначениям, нижние треугольные 
матрицы будем обозначать буквой 
L
(от английского lower — ниж­
ний) и верхние треугольные — буквой 
U
(от английского upper — 
верхний).