А. А. Самарский, А. В. Гулин

2. Теорема об /.{/-разложении. 
Обозначим через 
Д} 
угловой 
минор порядка 
j
матрицы 
А,
т. е.
Ai = an , A2 = <1et
аи
4)2 ~|
а 21 
а 22 
J
Ат = d etA .
Теоретическое обоснование возможности разложения матрицы 
в произведение двух треугольных матриц содержит следующая 
Т е о р е м а 1 (теорема об L/7-разложении). 
Пусть все угловые
миноры матрицы А отличны от нуля,
Д ^ О , / = 1, 2........
т. Тогда
55

---

матрицу А можно представить, причем единственным образом, в ви­
де произведения
A = LU
, 
(8)
где L
— 
нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными
элементами и U
— 
верхняя треугольная матрица с единичной диа­
гональю.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сформулированное утверждение 
сначала для матриц второго порядка. Будем искать разложение 
матрицы
^ 
а11 
аП
. °21 
а11
в виде
Л =
In
h\
где 
liU
/2Ь /22, ц12— неизвестные пока числа. Для их нахождения при­
дем к системе уравнений
/ц-—
ailt l-ilUi
2
Ц] 
2
) ^
21
" ^
21
>
^21^12 + ^22 ~ ^22,
которая имеет единственное решение
In — o-u, ui2 — a^lau, l
2
i ~ a
2
i,
l
22
д11а22 
а21а]2 
Оц
По предположению теоремы 
ап фО, апа2гф а г
1
а1г,
следовательно, 
элементы /и и /22 отличны от нуля.
Дальнейшее доказательство проведем методом индукции. Пусть 
утверждение теоремы справедливо для матриц порядка 
k
—1; дока­
жем, что оно справедливо и для матриц порядка 
к.
Представим 
матрицу 
А
порядка 
k
в виде
Л =
и обозначим
Оц
•
“l ,4—
1
“l4
“4-1,1 • * 
ak-l,k~\
“4-1,4
ак\
••
“4,4-1
“44 _