А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е . Если хотя бы один из угловых миноров матрицы 
А равен
нулю, то указанное /.//-разложение невозможно. Это легко видеть на примере
матриц второго порядка.
57

---

С л е д с т в и е .
Метод Гаусса можно применять тогда и только
тогда, когда все угловые Шиноры матрицы. А отличны от нуля.
3. 
Элементарные треугольные матрицы. Мы уже видели, что ме­
тод Гаусса приводит к разложению исходной матрицы в произве­
дение двух треугольных. Более детально описать структуру этих 
треугольных матриц можно с помощью так называемых элемен­
тарных треугольных матриц.
Матрица 
Lj
называется 
элементарной нижней треугольной мат­
рицей,
если она имеет вид
- 1
—
0 .
■ 
о
* 
1П
0 .
■ 
lj+i.i
1
_0 . • 
lmi
0
\_
В матрице L; все элементы главной диагонали кроме 
равны еди­
нице. Из остальных элементов отличными от нуля могут быть толь­
ко элементы /-го столбца, расположенные ниже 
lj}.
Обратной к 
Lj
является элементарная нижняя треугольная матрица
0 .
• 
• 
1П
0
0 ...
- ‘h u r t
l
0 ...
_/. ./“1
0
. l
0 ...
— 
1
■/"•
nij1 И
0 . . . 0 1
Рассмотрим для наглядности сначала систему 
A x= f,
состоящую 
из трех уравнений:
ап х г
+
а12х2
+
а13х3
= / ь
^2lM + ^22^2 "Ь 
^2:1Х3
== 
fit
0^)
&31Х 1 
®32Х 2
"Ь 
a 33X 3
== /3-
После первого шага исключения по методу Гаусса преобразован­
ная система принимает вид
*i
+ ^ * 2