А. А. Самарский, А. В. Гулин

(
8
)
(
9
>
Из последних двух уравнений системы (9) надо теперь исклю­
чить переменное 
х2.
Поскольку максимальным элементом первого 
столбца укороченной системы
*a + -j*3 = / i — - у ’ 
5x2 -f- Зх3 = /3
(Ю>
является элемент второй строки, делаем в (10) перестановку строк 
и тем самым от системы (9) переходим к эквивалентной системе
*i +
5-^2 Ч- Зх3 .— /3,
, 1
г 
/ 2
Х п
-J------
x3 
=
 
f1
-----
— 
,
2 
2 
2
(П
которую можно записать в матричном виде как
P23L lPi2A x = P 23L lPl2f.
(12)
Таким образом, система (12) получена применением элементарной 
матрицы перестановок
Р
23 ----
1
0
0
'
0 0 I
0 1 о
к системе (8).
Далее, к системе (11) надо применить второй шаг исключения 
обычного метода Гаусса. Это эквивалентно умножению системы 
(11) на элементарную треугольную матрицу
Ь2 =
'1
о
о
о 
0'
1/5 
0
-1/5 1
63

---

( 13)
В результате получим систему
L2P23LlPl2A x = L 2P23LlPl2f
или
, 1 
fa
“1----— — >
2 3 
2
, 3
Х2
“Ь g ^3
(14)
- 1 * , = ^ — А _ ± /
10
2
5
Заключительный шаг прямого хода метода Гаусса состоит в за­
мене последнего уравнения системы (14) уравнением
А
2
,«=— !0 (Л —
А"
что эквивалентно умножению (13) на матрицу
' 1 0
0
L3 =
0 1 
о
О 0 —10
Таким образом, для рассмотренного примера процесс исключе­
ния Гаусса с выбором главного элемента по столбцу записывается 
в виде
L3L2P23LlP12A x = L 3L2P23LlPnf.
(15)
По построению матрица
U = L3L2P23L3P i2A
(16)
является верхней треугольной матрицей с единичной главной диа­
гональю.
Отличие от обычного метода Гаусса состоит в том, что в каче­
стве сомножителей в (16) наряду с элементарными треугольными 
матрицами 
Lk
могут присутствовать элементарные матрицы пере­
становок 
Ры.
Покажем еще, что из (16) следует разложение
PA = LU,
(17)
где 
L
— нижняя треугольная матрица, имеющая обратную, и 
Р
— 
матрица перестановок. Для этого найдем матрицу
А == 
Р
2зДР 
2 3
- 
(18)
По свойству 2° матрица 
P23Li
получается из матрицы Lj переста­
новкой второй и третьей строк,
^29^1
—
1
— 0 0
2
0 
0 1