А. А. Самарский, А. В. Гулин

главного элемента, нам 
необходимо познакомиться с матрицами 
перестановок.
О п р е д е л е н и е 1. 
Матрицей перестановок Р
называется квад­
ратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце 
только один элемент отличен от нуля и равен единице.
anXi + а12х2
— /
1
, 
а2^Х\
-1- 
а2к2х2 j 2.
(
2
)
а^2х2
-{- ПцХ, 
а22х2-{-a2iX\ f2
(3)
a2ixl + a2zx2 = f2, 
апХ
1
 + а12х2 = 1
61

---

О п р е д е л е н и е 2. 
Элементарной матрицей перестановок Ри
называется матрица, полученная из единичной матрицы переста­
новкой &-й и /-й строк.
Например, элементарными матрицами перестановок третьего 
порядка являются матрицы
"0 1 0'
'0 0 г
'1 0 0"
Р п =
1 0 0
Д
>
II 0 1 0 > 7*23-- 0 0 1
_0 0 1_
.1 0 0_
_0 1 0_
Отметим следующие свойства элементарных матриц перестано­
вок, вытекающие непосредственно из их определения.
1°. Произведение двух (а следовательно, и любого числа) эле­
ментарных матриц перестановок является матрицей перестановок 
(не обязательно элементарной).
2°. Для любой квадратной матрицы 
А
матрица 
РЫА
отличается 
от 
А
перестановкой 
k-й
и 
I-
й строк.
3°. Для любой квадратной матрицы 
А
матрица 
АРЫ
отличается 
от 
А
перестановкой 
k -то
и 
I-
го столбцов.
3. Пример. Поясним применение элементарных матриц переста­
новок для описания метода Гаусса с выбором главного элемента 
по столбцу. Рассмотрим следующий пример системы третьего по­
рядка:
*1 + * 2 +
* 3 = f u
2*i
+ *з = /
2
, 
(4)
5
х
2
-f- 
Зх3
= /
3
.
Система имеет вид (1), где
А =
1 
1 
Г
2 0 1 
0 5 3
(5)
Максимальный элемент первого столбца матрицы 
А
находится во 
второй строке. Поэтому в системе (4) надо поменять местами пер­
вую и вторую строки и перейти к эквивалентной системе
2xx 
“Ь 
х3 = f 2,
X i +
*
2
+ *3 = /l. 
(6)
5
х
2 -f- Зх3 =
f3.
Систему (6) можно записать в виде
Pl2Ax = Pl2f,
(7)
т. е. она получается из системы (4) путем умножения на матрицу 
перестановок
Р
1 2
--
п0 1 о- 
1 0 0 .
_0 0 1
Далее, к системе (6) надо применить первый шаг обычного ме­
тода исключения Гаусса. Этот шаг, как мы видели, эквивалентен
62

---

умножению системы (7) на 
матрицу (см. (17) из § 2)
L1 =
элементарную нижнюю треугольную
- О О 1J
В результате от (7) перейдем к системе
L lPi2Ax = L lPllf
или, в развернутом виде,
*i
+ ± * а = Л
2 
2
*2 + Y * 3 = 7 l — -J- ,
5
х
2 + Зх3 = /3.