А. А. Самарский, А. В. Гулин

. Если 
det 
А Ф
0, 
то существует матрица перестано­
вок Р такая, что матрица РА имеет отличные от нуля угловые ми­
норы.
Доказательство теоремы 
1
приведено в п. 5.
С л е д с т в и е . 
Если 
det 
А Ф 0, то существует матрица переста­
новок Р такая, что справедливо разложение
PA 
=
LU ,
 
(22)
где L — нижняя треугольная матрица с отличными от нуля диаго­
нальными элементами и U — верхняя треугольная матрица с еди­
ничной главной диагональю.
3 А. А. С ам ар с к и й , А. В. Гулин
65

---

Следует подчеркнуть, что в методе Гаусса с выбором главного 
элемента матрица 
Р
не задается заранее, а строится в процессе 
исключения, как это было показано в примере из п. 3. Как прави­
ло, не требуется знать эту матрицу в явном виде.
5. Доказательство теоремы 1. Докажем теорему 1 индукцией по числу 
т —
порядку матрицы 
А. Пусть т = 2, г. е.
Гаи
а12
А =
а
21
022
.
Если 
а^фО, то утверждение теоремы 1 выполняется при Р = Е ,  где Е — еди­
ничная матрица второго порядка. Если а п = 0, то 
O2i¥=0, так как det АфО. При
этом у матрицы
Р цЛ
а 21
Я 22 
ап
о
12
все угловые миноры отличны от нуля.
Пусть утверждение теоремы верно для любых квадратных матриц поряд­
ка 
т— 1. Покажем, что оно верно и для матриц порядка т. Разобьем матри­